Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



III. Примеры решения задач.

Читайте также:
  1. Gt; во-вторых, когнитивной оценкой (cognitive appraisal), которую человек дает событию, требующему разрешения.
  2. II. Примеры проективных методик
  3. III. Примеры решения задач.
  4. III. Примеры решения задач.
  5. IV. Примеры решения задач.
  6. IV. Примеры решения задач.
  7. IV. Примеры решения задач.
  8. IV. Примеры решения задач.
  9. IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Определить взаимное расположение плоскостей:

а) и ;

б) и ;

в) и .

Решение.

а) Составим основную и расширенную матрицы

и .

Найдем ранг этих матриц:

.

Так как и , то плоскости П1 и П2 совпадают.

б) , .

Следовательно, плоскости П1 и П2 параллельны.

в) , следовательно плоскости П1 и П2 пересекаются по прямой.

 

Задача 2. Через точку М0(–5;16;12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось абсцисс, другая – ось ординат. Вычислить угол между этими двумя плоскостями.

Решение.

Составим уравнение плоскости П1, которая проходит через точку М0 и содержит ось абсцисс. Плоскость П1 задается двумя точками М0(–5;16;12) и О(0;0;0) и направляющим вектором . Следовательно, уравнение плоскости П1 имеет вид:

.

Или П1: .

Аналогично составим уравнение плоскости П2, проходящей через точку М0 и содержащей ось ординат (П2: М0, О, ).

П2: или П2: .

Тогда .

Угол между плоскостями П1 и П2 равен .

 

Задача 3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(3;-2;-7) параллельно плоскости .

Решение.

Искомая плоскость П имеет уравнение вида . Так как точка М1 П, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению:

. Отсюда Д1 = –27.

Тогда П: .

Задача 4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей и и через точку М(3;2;1).

Решение.

Так как искомая плоскость П проходит через линию пересечения двух плоскостей П1 и П2, то она принадлежит пучку плоскостей, образованному плоскостями П1 и П2. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

, где .

Тогда уравнение любой плоскости пучка и в частности плоскости П имеет вид:

.

Точка М(3;2;1) П, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости:

,

.

Отсюда имеем, что уравнение плоскости

П: ,

или .

 

Задача 5. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;–1;4) перпендикулярно плоскостям и .

Решение.

Искомая плоскость перпендикулярна плоскости и . Следовательно, векторы нормали к плоскостям и будут параллельны плоскости . Таким образом, плоскость определяется точкой М(2;-1;4) и двумя направляющими векторами: и .

Уравнение плоскости имеет вид:



: ,

,

.

Итак, плоскость задается уравнением .

 

Задача 6. Определить, при каких значениях a и b плоскости , , :

1) имеют одну общую точку;

2) проходят через одну прямую;

3) пересекаются по трем различным параллельным прямым.

Решение.

1) Три плоскости, заданные относительно аффинной системы координат общими уравнениями:

имеют одну общую точку тогда и только тогда, когда система, составленная из уравнений этих плоскостей, имеет единственное решение (Рис. 1).

Система имеет единственное решение определитель

.

.

Итак, плоскости имеют одну общую точку при .

2) Введем обозначения:

, , - векторы нормали соответственно к плоскостям .

Плоскости и проходят через прямую, если , и векторы - не коллинеарны (Рис. 2).

При и векторы нормали к плоскостям имеют координаты: , , . Нетрудно заметить, что не параллелен не параллелен . Следовательно, плоскости и пересекаются по прямой при и .

3) Плоскости и пересекаются по трем различным прямым, если , и векторы - не коллинеарны.

 


Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 62; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
II. Упражнения. 1. Проверить, что плоскости , пересекаются | IV. Задачи для самостоятельной работы. 1. Установить взаимное расположение следующих пар плоскостей:
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2019 год. (0.015 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты