III. Примеры решения задач.

Задача 1. Определить взаимное расположение плоскостей:

а) и ;

б) и ;

в) и .

Решение.

а) Составим основную и расширенную матрицы

и .

Найдем ранг этих матриц:

.

Так как и , то плоскости П₁ и П₂ совпадают.

б) , .

Следовательно, плоскости П₁ и П₂ параллельны.

в) , следовательно плоскости П₁ и П₂ пересекаются по прямой.

Задача 2. Через точку М₀(–5;16;12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось абсцисс, другая – ось ординат. Вычислить угол между этими двумя плоскостями.

Решение.

Составим уравнение плоскости П₁, которая проходит через точку М₀ и содержит ось абсцисс. Плоскость П₁ задается двумя точками М₀(–5;16;12) и О(0;0;0) и направляющим вектором . Следовательно, уравнение плоскости П₁ имеет вид:

.

Или П₁: .

Аналогично составим уравнение плоскости П₂, проходящей через точку М₀ и содержащей ось ординат (П₂: М₀, О, ).

П₂: или П₂: .

Тогда .

Угол между плоскостями П₁ и П₂ равен .

Задача 3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₁(3;-2;-7) параллельно плоскости .

Решение.

Искомая плоскость П имеет уравнение вида . Так как точка М₁ П, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению:

. Отсюда Д₁ = –27.

Тогда П: .

Задача 4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей и и через точку М(3;2;1).

Решение.

Так как искомая плоскость П проходит через линию пересечения двух плоскостей П₁ и П₂, то она принадлежит пучку плоскостей, образованному плоскостями П₁ и П₂. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

, где .

Тогда уравнение любой плоскости пучка и в частности плоскости П имеет вид:

.

Точка М(3;2;1) П, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости:

,

.

Отсюда имеем, что уравнение плоскости

П: ,

или .

Задача 5. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;–1;4) перпендикулярно плоскостям и .

Решение.

Искомая плоскость перпендикулярна плоскости и . Следовательно, векторы нормали к плоскостям и будут параллельны плоскости . Таким образом, плоскость определяется точкой М(2;-1;4) и двумя направляющими векторами: и .

Уравнение плоскости имеет вид:

: ,

,

.

Итак, плоскость задается уравнением .

Задача 6. Определить, при каких значениях a и b плоскости , , :

1) имеют одну общую точку;

2) проходят через одну прямую;

3) пересекаются по трем различным параллельным прямым.

Решение.

1) Три плоскости, заданные относительно аффинной системы координат общими уравнениями:

имеют одну общую точку тогда и только тогда, когда система, составленная из уравнений этих плоскостей, имеет единственное решение (Рис. 1).

Система имеет единственное решение определитель

.

.

Итак, плоскости имеют одну общую точку при .

2) Введем обозначения:

, , - векторы нормали соответственно к плоскостям .

Плоскости и проходят через прямую, если , и векторы - не коллинеарны (Рис. 2).

При и векторы нормали к плоскостям имеют координаты: , , . Нетрудно заметить, что не параллелен не параллелен . Следовательно, плоскости и пересекаются по прямой при и .

3) Плоскости и пересекаются по трем различным прямым, если , и векторы - не коллинеарны.