V. Задачи для самостоятельного решения. 1. Привести к нормальному виду уравнения плоскостей: а) ; б) ; в) ; г)

1. Привести к нормальному виду уравнения плоскостей: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2. Для каждой из следующих плоскостей вычислить углы , и , образуемые нормалью с осями координат, и расстояние p от начала координат: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

3. Вычислить расстояние d от точки Р(–1;1;–2) до плоскости, проходящей через три точки М₁(1;–1;1), М₂(–2;1;3) и М₃(4;–5;–2).

4. Найти расстояние от точки М(2;–1;–1) до плоскости .

5. На оси Oz найти точку, расстояние которой от плоскости равно 2.

6. На оси Oy найти точку, равноудаленную от точки А(0;2;1) и от плоскости .

7. На оси Ox найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: , .

8. На оси Oz найти точку, равноудаленную от точки М(1;–2;0) и от плоскости .

9. Две грани куба лежат на плоскостях , . Вычислить объем этого куба.

10. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от нее на расстоянии d = 5.

11. Составить уравнение множества точек, отстоящих от плоскости на расстоянии, равном 3.

12. Найти уравнение плоскости, касающейся сферы и параллельной плоскости .

13. У треугольной пирамиды SABC вершина S совпадает с началом координат, а боковые грани – с координатными плоскостями. Написать уравнение плоскости основания ABC, если SA:SB:SC = 1:3:2, а высота SH = 6, и вершины A, B и С имеют неотрицательные координаты.

14. В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точка М(2;–1;3) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей:

а) , б) ,

; .

15. Составить уравнение плоскости, которая делит пополам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями: , .

16. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями , , в котором лежит начало координат.

17. Доказать, что плоскость пересекает отрезок, ограниченный точками М₁(3;–2;1) и М₂(–2;5;2), и не пересекает отрезок, ограниченный точками N₁(1;4;–3) и N₂(2;5;0).