I. Теоретические сведения. Смешанным произведением трех некомпланарных векторов , и , взятых в определенном порядке, называется скалярное произведение вектора

Свойства смешанного произведения

Пусть в Е³ задан правый ортонормированный репер

1. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами численно равно определителю третьего порядка, составленного из координат векторов.

Пусть , , , тогда

.

Если базис левый, то знак смешанного произведения меняется на противоположный.

2. Тройка некомпланарных векторов , , одинаково ориентирована с тройкой базисных векторов , , тогда и только тогда, когда >0.

3. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

4. Смешанное произведение не меняет значения при циклической перестановке векторов, и меняет знак при перестановке двух векторов.

; …

5. Операция смешанного произведения векторов линейна по каждому аргументу.

а)

б)

6.