Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



IV. Примеры решения задач. Задача 1. Определите взаимное расположение следующих пар прямых:

Читайте также:
  1. Gt; во-вторых, когнитивной оценкой (cognitive appraisal), которую человек дает событию, требующему разрешения.
  2. II. Примеры проективных методик
  3. III. Примеры решения задач.
  4. III. Примеры решения задач.
  5. III. Примеры решения задач.
  6. IV. Примеры решения задач.
  7. IV. Примеры решения задач.
  8. IV. Примеры решения задач.
  9. IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Определите взаимное расположение следующих пар прямых:

а) : и :

б) : и :

в) : и :

Решение.

а) Прямые и заданы общими уравнениями, поэтому найдем сначала координаты направляющих векторов этих прямых и и координаты какой-нибудь точки М1, принадлежащей прямой и точки М2, принадлежащей прямой .

: , , т.е. .

Найдем координаты какой-нибудь точки М1 прямой . Пусть, например, y1 = 0, тогда x1 = 0 и z1 = 4. Т.е. точка имеет координаты М1(0;0;4).

: , , т.е. .

Найдем какую-нибудь точку М2, принадлежащую прямой . Пусть, например, z = 1. Тогда x = 7, y = 2, т.е. М2(7;2;1).

Найдем определитель:

.

Отсюда следует, что прямые и скрещиваются.

б) : , М1(1;7;3)

: , М2(6;–1;–2)

Найдем определитель:

.

Следовательно, прямые лежат в одной плоскости. Векторы и – не коллинеарны, значит прямые и – пересекаются.

в) : , М1(0;0;–3)

: , т.е. .

Найдем какую-нибудь точку М2, принадлежащую прямой . Пусть, например, z = –2. Тогда x = 9, y = 5. Точка М2(9;5;–2) принадлежит прямой .

Найдем определитель:

.

Следовательно, прямые и лежат в одной плоскости. Векторы и – коллинеарны, значит прямые и либо параллельны, либо совпадают. Вектор коллинеарен вектору и вектору , поэтому прямые и совпадают.

 

Задача 2. Написать уравнения прямой , проходящей посередине между параллельными прямыми и , заданными уравнениями: : и :

Решение:

Для определения координат точки М2 положим, например, x0 = 1. Тогда, получим z0 = 0, y0 = –1. Отсюда М2(1;–1;0).

Вычислим координаты середины отрезка М1М2:

; ; А(3; ; ).

Уравнение прямой , проходящей через точку А с направляющим вектором имеет вид:

.

 

Задача 3. Найти угол между прямыми и

Решение.

Найдем направляющие векторы этих прямых:

,

.

Косинус угла между данными прямыми:

,

.

 

Задача 4. Составить канонические уравнения прямой, лежащей в плоскости XOZ, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой .

Решение.

Пусть – направляющий вектор искомой прямой . Прямая лежит в плоскости XOY, поэтому проекция вектора на ось Oy равна нулю, т.е. = 0. Из условия перпендикулярности прямой данной прямой следует, что их направляющие векторы и перпендикулярны, т.е. .



Поскольку направляющий вектор задается с точностью до множителя, можно одну из координат выбрать произвольно. Например, положим = 3, получим = –1, следовательно, .

Искомая прямая проходит через начало координат О(0;0;0), поэтому ее канонические уравнения:

.

 

Задача 5. Доказать, что прямые и пересекаются. Найти точку их пересечения.

Решение.

Точка М1(1;–2;0) принадлежит первой прямой, а М2(–1;–11;–6) – второй. Найдем смешанное произведение векторов и направляющих векторов данных прямых и .

.

Следовательно, эти векторы компланарны, и две прямые лежат в одной плоскости. Поскольку векторы и неколлинеарны (их координаты непропорциональны), то прямые не параллельны, т.е. не пересекаются.

Найдем точку пересечения прямых. Для этого приведем уравнение одной из прямых к параметрическому виду и из уравнения второй прямой найдем значение параметра , отвечающего точке пересечения.

Параметрические уравнения первой прямой имеют вид:

, , .

Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнения второй прямой, получим:



, откуда .

Следовательно, точка пересечения имеет координаты:

, , .

Ответ: (3;–3;–2).

 

Задача 6. Доказать, что прямые , , и , , лежат в одной плоскости, и написать уравнение этой плоскости.

Решение.

Точка М1(2;0;–1) принадлежит первой прямой, а точка М2(7;2;0) второй. Найдем смешанное произведение векторов и направляющих векторов прямых и .

.

Следовательно, векторы компланарны и две прямые лежат в одной плоскости. Векторы и – коллинеарны (их координаты пропорциональны). Следовательно, прямые параллельны.

, . Поскольку координаты векторов и – непропорциональны, эти векторы неколлинеарны. Воспользуемся уравнением плоскости, заданной точкой М1 и направляющими векторами и :

,

.

Отсюда, – уравнение искомой плоскости.

 


Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 38; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Занятие № 9. | V. Задачи для самостоятельной работы. 1. Доказать, что: а) прямая пересекает ось Oy;
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2019 год. (0.013 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты