IV. Примеры решения задач. Задача 1. Определите взаимное расположение следующих пар прямых:

Задача 1. Определите взаимное расположение следующих пар прямых:

а) : и :

б) : и :

в) : и :

Решение.

а) Прямые и заданы общими уравнениями, поэтому найдем сначала координаты направляющих векторов этих прямых и и координаты какой-нибудь точки М₁, принадлежащей прямой и точки М₂, принадлежащей прямой .

: , , т.е. .

Найдем координаты какой-нибудь точки М₁ прямой . Пусть, например, y₁ = 0, тогда x₁ = 0 и z₁ = 4. Т.е. точка имеет координаты М₁(0;0;4).

: , , т.е. .

Найдем какую-нибудь точку М₂, принадлежащую прямой . Пусть, например, z = 1. Тогда x = 7, y = 2, т.е. М₂(7;2;1).

Найдем определитель:

.

Отсюда следует, что прямые и скрещиваются.

б) : , М₁(1;7;3)

: , М₂(6;–1;–2)

Найдем определитель:

.

Следовательно, прямые лежат в одной плоскости. Векторы и – не коллинеарны, значит прямые и – пересекаются.

в) : , М₁(0;0;–3)

: , т.е. .

Найдем какую-нибудь точку М₂, принадлежащую прямой . Пусть, например, z = –2. Тогда x = 9, y = 5. Точка М₂(9;5;–2) принадлежит прямой .

Найдем определитель:

.

Следовательно, прямые и лежат в одной плоскости. Векторы и – коллинеарны, значит прямые и либо параллельны, либо совпадают. Вектор коллинеарен вектору и вектору , поэтому прямые и совпадают.

Задача 2. Написать уравнения прямой , проходящей посередине между параллельными прямыми и , заданными уравнениями: : и :

Решение:

Для определения координат точки М₂ положим, например, x₀ = 1. Тогда, получим z₀ = 0, y₀ = –1. Отсюда М₂(1;–1;0).

Вычислим координаты середины отрезка М₁М₂:

; ; А(3; ; ).

Уравнение прямой , проходящей через точку А с направляющим вектором имеет вид:

.

Задача 3. Найти угол между прямыми и

Решение.

Найдем направляющие векторы этих прямых:

,

.

Косинус угла между данными прямыми:

,

.

Задача 4. Составить канонические уравнения прямой, лежащей в плоскости XOZ, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой .

Решение.

Пусть – направляющий вектор искомой прямой . Прямая лежит в плоскости XOY, поэтому проекция вектора на ось Oy равна нулю, т.е. = 0. Из условия перпендикулярности прямой данной прямой следует, что их направляющие векторы и перпендикулярны, т.е. .

Поскольку направляющий вектор задается с точностью до множителя, можно одну из координат выбрать произвольно. Например, положим = 3, получим = –1, следовательно, .

Искомая прямая проходит через начало координат О(0;0;0), поэтому ее канонические уравнения:

.

Задача 5. Доказать, что прямые и пересекаются. Найти точку их пересечения.

Решение.

Точка М₁(1;–2;0) принадлежит первой прямой, а М₂(–1;–11;–6) – второй. Найдем смешанное произведение векторов и направляющих векторов данных прямых и .

.

Следовательно, эти векторы компланарны, и две прямые лежат в одной плоскости. Поскольку векторы и неколлинеарны (их координаты непропорциональны), то прямые не параллельны, т.е. не пересекаются.

Найдем точку пересечения прямых. Для этого приведем уравнение одной из прямых к параметрическому виду и из уравнения второй прямой найдем значение параметра , отвечающего точке пересечения.

Параметрические уравнения первой прямой имеют вид:

, , .

Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнения второй прямой, получим:

, откуда .

Следовательно, точка пересечения имеет координаты:

, , .

Ответ: (3;–3;–2).

Задача 6. Доказать, что прямые , , и , , лежат в одной плоскости, и написать уравнение этой плоскости.

Решение.

Точка М₁(2;0;–1) принадлежит первой прямой, а точка М₂(7;2;0) второй. Найдем смешанное произведение векторов и направляющих векторов прямых и .

.

Следовательно, векторы компланарны и две прямые лежат в одной плоскости. Векторы и – коллинеарны (их координаты пропорциональны). Следовательно, прямые параллельны.

, . Поскольку координаты векторов и – непропорциональны, эти векторы неколлинеарны. Воспользуемся уравнением плоскости, заданной точкой М₁ и направляющими векторами и :

,

.

Отсюда, – уравнение искомой плоскости.