Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Бесконечно малые и бесконечно большие функции




Определение. Бесконечно малой при х®х0 называется функция α(х), предел

которой при х®х0 равен нулю, т. е.

 

Для бесконечно малых верны теоремы о пределах функций, а именно:

–сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;

–произведение бесконечно малых есть функция бесконечно малая;

–произведение бесконечно малой на постоянную есть функция бесконечно малая;

–произведение бесконечно малой на функцию ограниченную есть функция бесконечно малая.

Например, α1(х)=(х–2)2 – функция бесконечно малая при х®2.

α2(х)=sin x – функция бесконечно малая при х®π.

α3(х)=х2–3х+2 – функция бесконечно малая при х®1.

Обратимся теперь к рассмотрению функций, значения которых в окрестности точки х0 не ограничены.

Определение.Функция ƒ(х) называется бесконечно большой

при , если для любого положительного числа М

найдется такое положительное число δ, что для каждого х

из δ-окрестности точки х0 выполняется неравенство

 

|ƒ(х)| > М.

 

Примером такой функции является функция tg х при .

Функция при х®0 также является бесконечно большой. Если ƒ(х) – бесконечно большая при х®х0 функция, то записывают:

 

.

 

Здесь знак ∞ (бесконечность) указывает, что функция не имеет предела и является бесконечно большой.

Сформулируем теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

Теорема. Если функция α(х) – бесконечно малая при х®х0, то

бесконечно большая функция при х®х0.

Если ƒ(х) – бесконечно большая функция при х®х0, то

– бесконечно малая функция при х®х0.

 

Например, если sin x – бесконечно малая при х®0, то – бесконечно большая при . Или при х®3 функция х–3®0, а функция .

Заметим, что отношение любой функции, стремящейся к конечному пределу, и функции бесконечно малой является функцией бесконечно большой.

Поэтому, , т. к. , а .

Рассмотрим поведение функций при неограниченном возрастании аргумента х. Говорят х®∞ (неограниченно возрастает по абсолютной величине), если для любого числа М > 0 переменная х примет значение

 

|х| > М

 

 

Можно говорить о пределе функции при х®∞. Если при этом существует предел А функции ƒ(х), то записывают

 

 

Все рассмотренные теоремы и правила вычисления предела справедливы и в этом случае.

Например, – бесконечно малая функция при х®∞, т. к. .

 


Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 16; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты