Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Производная. Определение. Свойства и формулы




Читайте также:
  1. II.4. Классификация нефтей и газов по их химическим и физическим свойствам
  2. V. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЯ ВРЕМЕНИ
  3. А. Свойства и виды рецепторов. Взаимодействие рецепторов с ферментами и ионными каналами
  4. Алгоритм. Свойства алгоритма. Способы описания алгоритма. Примеры.
  5. Алгоритмы, их свойства и средства описания
  6. Аналитические свойства степенных рядов (непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость)
  7. Анизотропия горных пород по электрическим свойствам
  8. БИЛЕТ 24. Понятие и свойства надежности
  9. Билет №8. Закон распределения системы случайных величин. Функция и плотность двумерной случайной величины и их свойства.
  10. Биомеханические свойства и особенности строения ОДА человека

Пустьфункция у=ƒ(х) определена в некоторой области Х и х0 – точка внутри Х. Перейдем из точки х0 в другую точку области Х, изменив значение х0 на величину Δх (говорят: дадим х0 приращение Δх). Эта другая точка х=х0х. Функция ƒ(х) при этом тоже получит некоторое приращение

 

Δу=Δƒ(х0)=ƒ(х0+Δх)–ƒ(х0).

 

Приращение функции Δƒ(х0) (или Δу) – величина, на которую изменяется значение функции, когда аргумент получает приращение Δх.

Основным вопросом, который нас будет интересовать, является вопрос о характере изменения функции в точке х0. Точнее, нас будет интересовать скорость изменения значений функции при переходе от значения х0 независимой переменной к другому.

Рассмотрим для этого отношение приращения функции к приращению независимой переменной

 

 

Это отношение называют средней скоростью изменения функции на промежутке между точками х0 и х0+Δх.

Средняя скорость зависит от Δх, поэтому средняя скорость не будет достаточно хорошей характеристикой изменения функции в точке х0. За скорость изменения функции ƒ(х) в точке х0 принимается предел средней скорости при Δх®0.

Определение.Если существует конечный предел отношения приращения

функции у=ƒ(х) к приращению независимой

переменной, когда это приращение стремится к нулю, то

этот предел называется производной функции у=ƒ(х) в

точке х0и обозначается одним из следующих символов:

, .

 

По определению:

 

или .

Таким образом, производная ƒ¢(х0) есть скорость изменения функции ƒ(х) в точке х0. Таков физический смысл производной.

Рассмотрим геометрический смысл производной.

Пусть дан график функции у=ƒ(х), представляющий собой некоторую кривую. Отметим на ней некоторую точку М0. Если М – другая точка этой кривой, то прямая М0М называется секущей.

 

Определение. Касательной к кривой в точке М0 называется предельное

положение секущей М0М при условии, что точка М,

двигаясь по кривой, приближается к точке М0.

 

Пусть х0 и х0+Δх – абсциссы точек М0 и М графика функции у=ƒ(х). Ординатами этих точек будут числа ƒ(х0) и ƒ(х0+Δх) или у0=ƒ(х0) и у0+Δу=ƒ(х0+Δх).




Рис. 22.

 

Запишем уравнение касательной к графику у=ƒ(х) в точке М0(х0, у0):

 

у–у0=k·(х–х0),

 

где k – угловой коэффициент касательной, т. е. k=tg α.

Поскольку касательная – предельное положение секущей, то и угол α наклона касательной есть предел угла β наклона секущей, т. е. k=tg α= , при условии, что точка М по графику приближается к точке М0, но тогда Δх®0.

Из треугольника М0 и .

Таким образом, касательная к графику функции у=ƒ(х) существует, если в точке х0 функция ƒ(х) имеет производную, а угловой коэффициент касательной в точке М0(х0, у0) равен значению производной в точке х0, т. е. k=ƒ¢(x0).

Уравнение касательной:

 

у–у0=ƒ¢(х0)·(х–х0).

 

Выяснив физический и геометрический смысл производной, рассмотрим основные свойства и формулы дифференцирования (дифференцированием функции называется процесс отыскания ее производной).

 

Теорема 1.Если функция ƒ(х) дифференцируема в точке х0, то ƒ(х)

непрерывна в точке х0.



Заметим сразу, что обратное утверждение не всегда верно.

 

Теорема 2. Если функция ƒ(х) во всех точках отрезка [а, b] имеет

положительную производную, то ƒ(х) возрастает на [а, b],

т. е. еслиƒ¢(х) > 0 на [а, b], то ƒ(х) возрастает на [а, b].

 

Теорема 3. Если функция ƒ(х) во всех точках отрезка [а, b] имеет

отрицательную производную, то ƒ(х) убывает на [а, b], т. е.


если ƒ¢(х) < 0, то ƒ(х) убывает на [а, b].

 

Рис. 23. Рис. 24.

 

В случае ƒ¢(х) > 0 и tg α > 0, т. е. в любой точке графика угол наклона α < 900. Функция возрастает на [а, b].

В случае ƒ¢(х) < 0 tg α < 0 и угол наклона касательной α > 900. Функция убывает на [а, b].

Теоремы 2 и 3 используются при решении задачи на отыскание интервалов монотонности функции.

 


Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 14; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.015 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты