КАТЕГОРИИ:

# Экстремум функции

 Читайте также: .someinputs{display:none}.transformer-form{padding:34px 60px 40px 60px;color:#2c3f57;max-width:830px;min-width:380px;display:flex;align-items:center;flex-direction:column;border:1px solid #dce0e7;border-radius:10px;box-sizing:border-box}.transformer-form-title{font-size:24px;font-weight:700;margin-bottom:20px;line-height:30px;text-align:center;letter-spacing:.65px}.transformer-form-description{position:relative;display:flex;align-items:center;margin-bottom:30px;font-size:12px;letter-spacing:-.21px}.transformer-form-description::after{display:inline-block;position:absolute;left:0;top:5px;width:20px;height:20px}.transformer-form-form{display:flex;flex-direction:column;align-items:center;margin-bottom:0}.transformer-form-description::before{content:"";display:inline-block;min-height:40px;min-width:40px;box-shadow:0 2px 5px rgba(0,0,0,.15);border-radius:100%;margin-right:10px;background:url("data:image/svg+xml,%3Csvg xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' width='19.511' height='18.001' viewBox='0 0 19.511 18.001'%3E%3Cg transform='translate(-258.25 -1591.25)'%3E%3Cg transform='translate(259 1592)'%3E%3Cpath d='M0,6.2A3.1,3.1,0,0,0,3.1,3.1,3.1,3.1,0,0,0,0,0' transform='translate(13.085 1.005)' fill='none' stroke='%232c3f57' stroke-linecap='round' stroke-linejoin='round' stroke-miterlimit='10' stroke-width='1.5'/%3E%3Cpath d='M0,0A10.241,10.241,0,0,1,1.519.219,2.5,2.5,0,0,1,3.347,1.265a1.474,1.474,0,0,1,0,1.264A2.521,2.521,0,0,1,1.519,3.579' transform='translate(14.51 10.568)' fill='none' stroke='%232c3f57' stroke-linecap='round' stroke-linejoin='round' stroke-miterlimit='10' stroke-width='1.5'/%3E%3Cpath d='M6.428,0C9.9,0,12.857.525,12.857,2.623S9.914,5.266,6.428,5.266C2.961,5.266,0,4.741,0,2.642S2.942,0,6.428,0Z' transform='translate(0 11.235)' fill='none' stroke='%232c3f57' stroke-linecap='round' stroke-linejoin='round' stroke-miterlimit='10' stroke-width='1.5'/%3E%3Cpath d='M4.119,8.24a4.12,4.12,0,1,1,4.12-4.12A4.1,4.1,0,0,1,4.119,8.24Z' transform='translate(2.309 0)' fill='none' stroke='%232c3f57' stroke-linecap='round' stroke-linejoin='round' stroke-miterlimit='10' stroke-width='1.5'/%3E%3C/g%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E%0A") center no-repeat}.transformer-form-inputs-container{display:flex;flex-wrap:wrap;justify-content:space-between;margin:0 -15px}.transformer-form-input{width:44%;box-sizing: border-box;border:1px solid #dce0e7;border-radius:5px;max-height:40px;outline:0;padding:10px 15px;-webkit-appearance:none;font-size:14px;flex-grow:1;cursor:pointer;margin:0 15px 30px 15px;background-color:#fff}#WorkType{appearance:none;background: url("data:image/svg+xml,%3Csvg xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' width='20' height='20' viewBox='0 0 20 20'%3E%3Cg id='Сгруппировать_7' data-name='Сгруппировать 7' transform='translate(-260 -10)'%3E%3Cg id='down-arrow' transform='translate(-115 -150)'%3E%3Cpath id='Контур_1' data-name='Контур 1' d='M1730,165l5,5,5-5' transform='translate(-1350 2.5)' fill='none' stroke='%232c3f57' stroke-linecap='round' stroke-linejoin='round' stroke-width='1.5'/%3E%3Crect id='Прямоугольник_4' data-name='Прямоугольник 4' width='20' height='20' transform='translate(375 160)' fill='none'/%3E%3C/g%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E%0A") no-repeat;background-position:calc(100% - 10px);}.transformer-form-input[type=number]::-webkit-inner-spin-button,.transformer-form-input[type=number]::-webkit-outer-spin-button{opacity:1}.transformer-form-input:focus{border-color:#0f61fe}.transformer-form-input-error{border-color:#fe0000;background:url("data:image/svg+xml,%3Csvg xmlns='http://www.w3.org/2000/svg' width='15.997' height='14.5' viewBox='0 0 15.997 14.5'%3E%3Cg transform='translate(-367 -222.5)'%3E%3Cpath d='M7.46,3.193a2.273,2.273,0,0,1,3.937,0l5.733,10.019a2.241,2.241,0,0,1-1.968,3.345H3.695a2.241,2.241,0,0,1-1.968-3.345l2-3.5Z' transform='translate(365.571 220.443)' fill='%23fe0000'/%3E%3Ccircle cx='0.8' cy='0.8' r='0.8' transform='translate(374.2 232)' fill='%23fff'/%3E%3Crect width='1.5' height='4' rx='0.75' transform='translate(374.25 227)' fill='%23fff'/%3E%3C/g%3E%3C/svg%3E") no-repeat;background-position:calc(100% - 10px) center}#Requirements,.file-uploader-label{max-width:unset}.file-uploader-label{color:#778698;position:relative;width:100%;background-color:#fafafd}.file-uploader-decorator{text-align:center;color:#fff;position:absolute;right:10px;top:10px;height:20px;width:20px;background-color:#0f61fe;border-radius:100%;font-size:18px;line-height:1}.file-uploader-label.file-uploaded .file-uploader-decorator{font-weight:700;text-align:center;color:#2c3f57;right:10px;top:10px;height:20px;width:20px;background-color:#fafafd;border-radius:100%;border:1px solid #dce0e7;transform:rotate(45deg)}.file-uploaded{background-color:#fff}.file-uploader-label.transformer-form-input-error::before{content:"Доступные форматы: doc, docx, pdf, png, jpg, jpeg, xls, xlsx, zip, rar, 7z, pptx, ppt, pptm. Размер файла: не более 10 МБ.";position:absolute;top:-43px;left:0;max-height:40px;width:calc(100% - 25px);background-color:#fe0000;font-size:11px;color:#fff;border-radius:5px;padding:12px 10px 13px 15px;text-align:center}.file-uploader-label.transformer-form-input-error::after{content:"";position:absolute;top:-6px;left:50%;border:5px solid transparent;border-top:5px solid #fe0000}.pp-checkbox-container{display:flex;font-size:11px;align-items:center}#Requirements::placeholder{line-height:1.5;letter-spacing:-.28px;font-size:14px;font-family:Manrope,sans-serif}#pp-checkbox-c2d47ea{position:absolute;z-index:-1;opacity:0}#pp-checkbox-c2d47ea+label{user-select:none;position:relative;display:flex;align-items:center}#pp-checkbox-c2d47ea+label a{margin-left:3px;color:#0f61fe;text-decoration:none;letter-spacing:-.3px}#pp-checkbox-c2d47ea+label::before{content:"";display:inline-block;width:20px;height:20px;border:1px solid #dce0e7;border-radius:5px;margin-right:9px}#pp-checkbox-c2d47ea.transformer-form-input-error+label::before{border-color:#fe0000}#pp-checkbox-c2d47ea:checked+label::after{content:"";position:absolute;border-left:1px solid #2c3f57;border-bottom:1px solid #2c3f57;left:6px;top:6px;height:5px;width:11px;transform:rotate(-45deg)}.submit-button{color:#fff;font-weight:700;background-color:#e60000;max-height:unset;height:50px;width:290px;margin-top:30px;margin-bottom:0;margin-left:0;margin-right:0;letter-spacing:-.2px}.submit-button:hover{background-color:#fe0000}.transformer-form.modified-paddings{padding:34px 40px 40px 40px}.modified-paddings .transformer-form-input:not(.submit-button){margin-bottom:25px;width:100%} Помощь в написании учебных работ Имя 1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое ПринимаюПолитику конфиденциальности

Исследование функции на экстремум – одно из важнейших приложений производных. Рассмотрим определение минимумов и максимумов, и способы их отыскания.

Пусть функция ƒ(х) определена и дифференцируема на некотором множестве и точка х0 – точка внутри него.

Определение. Функция ƒ(х) в точке х0 имеет максимум (минимум), если

существует такая окрестность точки х0, что для всех х из

этой окрестности

ƒ(х) < ƒ(х0) (ƒ(х) > ƒ(х0)).

Точка х0 называется тогда точкой максимума (минимума).

Рис. 25.

Показан график функции, которая имеет две точки максимума (х1 и х3) и две точки минимума (х2 и х4), причем максимальное значение может оказаться меньше минимального (ƒ(х1) < ƒ(х4)). Это подчеркивает тот факт, что мы характеризуем особенность функции только вблизи некоторой точки.

Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремальными значениями или экстремумами. На приведенном графике видно, что точки экстремума (х1, х2, х3, х4) определяют интервалы монотонности функции, в каждом из которых производная сохраняет определенный знак. В точках экстремума, понятно, производная обращается в нуль. Сформулируем теорему о необходимом условии существования экстремума.

Теорема.Если функция ƒ(х) в точке х0 имеет экстремум, то производная

функции в этой точке равна нулю, т. е. ƒ¢(х0)=0.

Заметим сразу, что условие это не является достаточным, т. е. обратное утверждение не всегда верно. Из равенства ƒ¢(х0)=0 не обязательно следует, что в точке х0 существует экстремум.

Подтверждением тому пример с функцией ƒ(х)3.

Найдем ƒ¢(х)=3х2. В точке х=0 ƒ¢(0)=0. Но как угодно близко к точке х=0 найдем х>0, где ƒ(х)3 > 0, найдем х<0, где ¦(х)=х3<0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки х=0, где для всех х значение функции в точке х=0 будет самым большим или самым малым. Поэтому точка х=0 не является точкой экстремума.

Можно рассуждать иначе. Так как производная ƒ¢(х)=3х2, то функция ƒ(х)=х3 возрастает при любых действительных х и экстремумов не имеет.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (ƒ¢(х)=0) называются критическими.

Очевидно, что касательная к графику функции в точках, где ƒ¢(х)=0, параллельна оси абсцисс Ох.

Достаточное условие экстремума дается в следующих теоремах.

Теорема 1. Если х0 – критическая точка функции и при переходе через

нее производная меняет знак, то х0 – точка экстремума, а

именно, если производная меняет знак с плюса на

минус – точка максимума, если – с минуса на плюс – точка

минимума.

Заметим, что экстремума в точке нет, если производная не меняет знака. Правило исследования на экстремум с помощью первой производной известно из школьного курса. Достаточное условие экстремума иногда удобнее формулировать с помощью второй производной.

Пусть функция ƒ(х) дважды дифференцируема в некоторой области (т. е. ƒ(х)имеет ƒ¢(х) и ƒ¢¢(х)).

Теорема 2.Если х0 – критическая точка функции ƒ(х) и ƒ¢¢(х0) > 0, то

х0 – точка минимума, если ƒ¢¢(х0) < 0, то х0 – точка максимума.

С помощью второй производной определяется выпуклость или вогнутость графика функции.

Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 27; Нарушение авторских прав

lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты