Пример 11. Дана кривая . Составить уравнения касательных к этой кривой, параллельных

Дана кривая . Составить уравнения касательных к этой кривой, параллельных

а) оси Ох, б) прямой3х–у–5=0.

Найдем производную от у:

а) Если касательная параллельна оси Ох, то угловой коэффициент ее равен нулю, т. е. производная в точке х₀ должна быть равна нулю: х²–4х+3=0. Решая это уравнение, находим х₁=3 и х₂=1. Найдем соответствующие им значения функции:

Получены две точки на данной кривой: М₁(3, –3) и М₂(1, ).

Касательные – прямые, проходящие параллельно оси Ох, имеют уравнения: у= –3 и у= .

б) Если касательная параллельна прямой 3х-у-5=0, то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту данной прямой:

3х–у–5=0 или у=3х–5.

k=3.

Производная у¢ в точке х₀ должна быть равна 3.

х²–4х+3=3. Решая это уравнение х²–4х=0, находим х₁=0 и х₂=4.

Найдем соответствующие им значения функции:

у₁=у(0)= –3. у₂=у(4)= ·4³–2·4²+3·4–3= – .

Уравнение касательной в точке М₁(0,–3):

у+3=3·(х–0) или 3х–у–3=0.

Уравнение касательной в точке М₂(4, – ):

или 9х–3у–41=0.