Задача № 6.

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Данная функция является многочленом (можно раскрыть скобки, получим многочлен третьей степени), поэтому она определена, непрерывна и дифференцируема при любых х.

2. Найдем производную.

.

Из уравнения у¢=0 найдем критические точки: 3х·(х–2)=0, х₁=0, х₂=2.

Исследуем их.

3. Итак, функция возрастает на интервалах (–∞, 0) и (2, +∞), убывает на интервале (0; 2), имеет максимум при х=0 и минимум при х=2:

у_max=у(0)=4; у_min=у(2)=0.

4. Найдем вторую производную.

у¢¢=6·(х-1).

Кривая выпукла там, где у¢¢ < 0, т. е. 6·(х–1) < 0, х < 1.

Кривая вогнута там, где у¢¢ > 0, т. е. х > 1.

Итак, на интервале (–∞, 1) кривая выпукла; а на интервале (1, +∞) – вогнута.

5. Точку перегиба найдем из уравнения у¢¢=0. Таким образом, х=1 – абсцисса точки перегиба, т.к. эта точка разделяет интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Ордината точки перегиба: у(1)=2.

График функции у=(х+1)·(х–2)² пересекает ось Ох при у=0, т. е. при х= –1 и х=2;

пересекает ось Оу при х=0, т. е. при у=4. Мы получили три точки: (–1; 0), (2; 0), (0; 4).

Все полученные точки внесем в таблицу, добавив соседние с ними.

х	–2	–1
у	–16		3
				max	перегиб	min

Рис. 28 Кривая у=(х+1)(х–2)².