Некоторые свойства определителей

1º. При транспонировании определителя его значение не изменяется. (Транспонированием определителя называется такое его преобразование, при котором строки определителя записываются как его столбцы в том же порядке; тогда столбцы определителя становятся его строками).

Пример. Пусть , . Тогда .

2º. Если все элементы какого-либо строки определителя нулевые, то определитель равен нулю.

Пример. .

3º. Если две строки определителя пропорциональны (в частности, равны), то определитель равен нулю.

Пример. .

4º. Если какую-либо строку определителя умножить на некоторое число, то определитель умножится на это число.

Пример. .

5º. Если поменять местами две строки определителя, то определитель изменит знак на противоположный.

Пример. .

6º. При циклической перестановке строк значение определителя не изменяется.

Пример. .

7º. Если к какой-либо строке определителя прибавить другую строку, умноженную на некоторое число, то значение определителя не изменится.

Пример. .

Замечание 1. В силу свойства 1ºсвойства2º - 7ºсправедливы и для столбцов определителя.

Замечание 2. В справедливости всех приведенных в примерах равенств можно убедиться, вычислив все определители. Облегчить себе работу можно, используя таблицу MS Excel.

Пример. Вычислить определитель .

Элементы определителя нужно записать в любой диапазон размерности 3*3. В любой свободной ячейке нужно записать формулу =МОПРЕД(имя верхней левой ячейки диапазона : имя нижней правой ячейки диапазона). После нажатия клавиши Enter в этой ячейке запишется значение определителя (в данном примере 821).

Чтобы не указывать адрес диапазона, можно записать в выбранной ячейке формулу =МОПРЕД(), установить курсор в скобках и выделить диапазон мышью, после чего, не переставляя курсор, нажать клавишу Enter.