Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

1. При умножении комплексных чисел в тригонометрической или показательной форме модули этих чисел нужно перемножить, а аргументы сложить:

;

.

2. При делении комплексных чисел в тригонометрической или показательной форме нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и из аргумента делимого вычесть аргумент делителя:

;

3. При возведении комплексного числа в степень в тригонометрической или показательной форме нужно модуль числа возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.

.

Замечание. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в показательной форме производятся так же, как умножение, деление и возведение в степень степеней, что делает показательную форму комплексных чисел особенно удобной для выполнения этих действий.

Пример 14. Вычислить произведение и частное чисел и

Пример 15. Вычислить:

Решение. .

Ответ: .

Пример 16. Вычислить: .

Решение.

Ответ: .

Пример 17. Вычислить: .

Решение. .

Ответ: .

Пример 18. Вычислить: .

Решение.

Ответ:

Пример 19. Вычислить .

Решение. Представим основание степени в показательной форме. Так как , то .

Так как , , то (см. таблицу 1). Получаем:

. Тогда , поэтому

.

Теперь представим результат в алгебраической форме.

.

Ответ:

Указание. Если в результате произведенных действий получается число, аргумент которого не удовлетворяет условию , то нужно прибавить к нему (или вычесть из него) столько раз, чтобы нужное условие выполнилось.