Определение 4. Суммой комплексных чисел и называется число .

Пример 3. .

Определение 5. Разностью комплексных чисел и называется комплексное число , которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое: .

Можно доказать, что разность комплексных чисел и вычисляется по правилу .

Пример 4. .

Определение 6. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число .

Пример 5.

Определение 7.Отношением комплексных чисел и называется комплексное число , которое в произведении с делителем дает делимое: .

Пример 6. Вычислить отношение .

Так как искомое отношение является комплексным числом, то обозначим его так:

.

Из определения 7 следует, что .

Перемножив числа в правой части равенства, получаем: .

Согласно определению 3, это уравнение равносильно системе уравнений:

Решим эту систему по формулам Крамера.

, , .

, .

Окончательно получаем: , что полностью соответствует вычислениям в примере 5:

Определение 8. Комплексное число называется сопряженным комплексному числу .

Замечание.Так как , то числа и обычно называют взаимно сопряженными.

Пример 7. а) ; б) ;

в) ; г)

д) ;

е) .

Вычислим произведение взаимно сопряженных комплексных чисел:

, или .

Таким образом, произведение взаимно сопряженных комплексных чисел является действительным (и даже положительным при ) числом.

Это свойство позволяет более удобным способом, чем по определению, находить отношение комплексных чисел. При делении комплексных чисел лучше сначала умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю, а затем произвести деление:

.

Пример 8. Вычислим еще раз отношение , используя свойство сопряженных чисел:

Окончательно получаем:

Практические рекомендации:

Сумму, разность и произведение комплексных чисел можно найти так же, как сумму, разность и произведение многочленов, учитывая только, что .

При делении комплексных чисел удобнее сначала умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю, а затем уже выполнить деление.