Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса

Суть метода Гаусса рассмотрим на конкретном примере.

Пример. Решить систему уравнений: (1).

Решение делится на две части, называемые прямым ходом и обратным ходом.

Прямой ход. Данная система приводится к треугольному виду поэтапно методом алгебраического сложения.

На первом этапе исключим из второго и третьего уравнений системы (1) слагаемые, содержащие переменную . Лучше использовать в обоих случаях одно и то же уравнение (мы возьмем первое).

Получаем:

Первое уравнение системы (1) перепишем без изменений, а второе и третье уравнения заменим полученными уравнениями. Система (1) примет вид:

(2)

На втором этапе исключим из третьего уравнения системы (2) слагаемое, содержащее переменную . Используем для этого второе уравнение.

Получаем:

Первые два уравнения системы (2) перепишем без изменения, а третье уравнение заменим полученным уравнением. Получаем систему треугольного вида:

(3)

Обратный ход. Последовательно находим значения неизвестных, начиная с третьего уравнения.

Из третьего уравнения системы находим значение переменной :

.

Подставив найденное значение во второе уравнение системы, получаем , откуда находим значение переменной :

.

Подставив найденные значения и в первое уравнение системы, получаем , откуда находим значение переменной : .

Ответ: .