Сумма двух подпространств L является снова подпространством L

1) Пусть y₁+y₂ (L₁+L₂) <=> y₁=x₁+x₂, y₂=x’₁+x’₂, где (x₁,x’₁) L₁, (x₂,x’₂) L₂. y₁+y₂=(x₁+x₂)+(x’₁+x’₂)=(x₁+x’₁)+(x₂+x’₂), где (x₁+x’₁) L₁, (x₂+x’₂) L₂ => первое условие линейного подпространства выполняется.

ay₁=ax₁+ax₂, где (aх₁) L₁, (aх₂) L₂=> т.к. (y₁+y₂) (L₁+L₂)_, (ly₁) (L₁+L₂) => условия выполняются => L₁+L₂ – линейное подпространство.

Пересечение двух подпр. L1 и L2 лин. пр-ва L также является подпр. этого пространства.

Рассмотрим два произвольных вектора x,y, принадлежащих пересечению подпространств, и два произвольных числа a,b: .

По опр. пересечения множеств:

=> по определению подпространства линейного пространства: , .

Т. К. вектор ax + by принадлежит и множеству L₁, и множеству L₂, то он принадлежит, по определению, и пересечению этих множеств. Таким образом:

.

№6

Опр.Говорят, что V является прямой суммой своих подпр. если и б) это разложение единственно

б') Покажем, что б) равносильно б’)

При б) верно б’)