Решение нелинейных уравнений.

Пусть функция определена в некотором интервале. Требуется найти корни уравнения

(3.1)

Всякое значение , обращающее функцию в нуль, называется корнем уравнения (3.1) или нулем функции . Будем считать все корни уравнение (3.1) имеет только изолированные корни, у каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных корней уравнения (3.1) обычно осуществляется в два этапа. На первом этапе устанавливаются возможно тесные промежутки, в каждом из которых содержится один корень исходного уравнения (3.1) – это называется отделением корней. На втором этапе осуществляется итерационное уточнение приближенных корней до заданной степени точности.

Отделение корней представляет собой задачу математического анализа. Его теоретической основой служит известная теорема Больцано-Коши. Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка : , то внутри этого отрезка находится хотя бы один корень уравнения . Достаточным условием единственности этого корня служит неизменность знака (монотонность ) на отрезке . На практике для отделения корней удобно графическое решение уравнений средствами MathCAD.

Для уточнения интервала расположения искомого корня вводится пробная точка и рассматриваются 3 возможных случая:

1. 
2. ; (3.2)
3. .

На основе такого анализа величины можно создавать простые и легко программируемые процессы нахождения корня, строя последовательность вложенных сужающихся промежутков его локализации. Обычно их называют методами дихотомии и (от греческого слова – деление на две части) или методами бисекции (то же самое по-латыни).

Наиболее простым вариантом метода дихотомии является метод половинного деления промежутка существования корня. Поиск корня в таком случае происходит по следующей схеме:

1. Задать начальный промежуток , функцию и малые величины - допустимую абсолютную погрешность корня и - допуск по реальной точности вычисления значений функции.
2. Найти середину отрезка .
3. Если , то можно принять и остановить вычисления.
4. Вычислить .
5. Если , то можно принять и остановить вычисления.
6. Если , то можно принять и перейти к п.1.
7. Иначе принять и перейти к п.1.

В упрощенных вариантах можно обойтись без допуска и вместо ветвления п.4-7 сравнивать с нулем величину по ранее приведенной схеме (3.2) .

За один шаг половинного деления промежуток нахождения корня сокращается вдвое. Если начальный промежуток считать первым , то на -м шаге корень будет находиться на отрезке , поэтому погрешность его нахождения будет оцениваться как

. (3.3)

Отметим, что метод половинного деления можно использовать, если при переходе через корень меняет знак, т.е. только для нахождения корней нечетной кратности.