Приклади

Загальні поняття

Означення. Рівняння, що містить аргумент, невідому функцію та її похідні або диференціали, називається диференціальним рівнянням (д. р.).

В загальному вигляді д. р. може бути записане у формі

, (1)

яку ще називають неявною формою.

Означення. Найвищий порядок похідної або диференціала, що входить в д. р., називають порядкомцього диференціального рівняння.

Наприклад,

- д. р. першого порядку,

- д. р. другого порядку,

- д. р. третього порядку.

Якщо ж д. р. (1) можна розв’язати відносно старшої похідної, то отримаємо явну форму д. р.

(2)

Означення. Функція , яка має на деякому інтервалі похідні , і яка після підстановки разом з похідними до д. р. (1) або (2) перетворює його в тотожність називається розв’язком д. р. При цьому ще говорять, що функція задовольняє даному д.р.

Приклади

1. - це д. р. першого порядку. Його розв’язок можна знайти шляхом інтегрування

Цей розв’язок містить довільну сталу С. Надаючи сталій С різних значень, ми отримаємо сім’ю кривих (парабол, див рис. 3.1).

2. Розв’язком д. р. є функція .

Дійсно, знайдемо спочатку першу похідну , а тоді другу - . Підставимо в д. р. вирази і , отримаємо тотожність .

3. Розв’язком д. р. є також функція

,

де і довільні сталі величини.

Перевіримо. Знайдемо , . Підставимо і в д. р., отримуємо тотожність

.

4. По аналогії з прикладом 1 знайдемо розв’язок д. р.

.

Після інтегрування маємо

,

Після повторного інтегрування знаходимо

.

Задачу про знаходження розв’язку д. р. називають задачею інтегрування даного диференціального рівняння. Графік розв’язку д. р. називається інтегральною кривою.

З наведених прикладів бачимо, що розв’язок д. р. знаходиться неоднозначно, геометрично розв’язок д. р. може задавати сім’ю кривих на площині , як це видно з прикладу 1, де розв’язок залежить від однієї сталої величини С, це для д. р. першого порядку. З прикладів 3 і 4 бачимо, що розв’язки д. р. другого порядку можуть мати дві довільні сталі .