Задачі на складання д. р.

1⁰. Задача про радіоактивний розпад. Відомо, що швидкість розпаду радію в момент часу t пропорційна наявній в цей момент масі m(t). Знайти закон радіоактивного розпаду, якщо відомо, що початкова маса дорівнювала . Знайти також період напіврозпаду радію, якщо встановлено, що за 23 роки маса зменшується на 1%.

Розв’язання. Позначимо величину маси в момент часу t. Нехай за проміжок часу від t до внаслідок розпаду маса зменшилась на , тоді

-

- середня швидкість розпаду, яка показує на скільки одиниць змінюється маса за одиницю часу. Границя цього відношення при дорівнює миттєвій швидкості розпаду в момент часу t, тобто

Згідно фізичного закону маємо

, (1)

де k - коефіцієнт пропорційності. Д. р. (1) є рівнянням радіоактивного розпаду, воно відноситься до д. р. з відокремлюваними змінними. Розв’яжемо його

Зауважимо, що в останньому випадку довільну сталу при інтегруванні ми взяли у формі ln C, це для того, щоб легше було звільнитися від логарифмів. Крім того, відомо, що lne=1, тому

Отже, далі запишемо

, або

Функція (2) є загальним розв’язком д. р. (1). Згідно з початковою умовою із (2) при отримуємо

Таким чином, запишемо

.

Знайдемо тепер коефіцієнт пропорційності за умовою, що за t=23 роки маса зменшується на 1%, тобто від початкової маси залишиться 0,99 . Отже, при t=23 маємо

.

Відомо, що для еквівалентних нескінченно малих , тому

Далі маємо

Отже закон радіоактивного розпаду радію

Знайдемо період напіврозпаду Т. Це час Т, за який початкова маса зменшиться наполовину, тобто

.

Внаслідок логарифмування знаходимо

. Отже,

(років).

2⁰.Задача про випуск продукції при сталій ціні.

Нехай до моменту часу t реалізовано продукції певної галузі в обсязі . Припустимо, що вся вироблена продукція реалізується за сталою ціною p, тобто, ринок ненасичений. Тоді величина доходу буде дорівнювати .

Позначимо через величину інвестиції, що направляється на розширення виробництва, при цьому знехтуємо часом між закінченням виробництва продукції і її реалізацією. Припустимо далі, що швидкість випуску продукції пропорційна величині інвестиції, тобто

, (1)

де l - коефіцієнт пропорційності. Вважаючи, що величина інвестиції складає фіксовану величину доходу , отримаємо

, (2)

де m так звана норма інвестиції (m-const), . Із (1) і (2) отримаємо

- (3)

- диференціальне рівняння закону випуску продукції, де ,

Розв’яжемо д. р. (3):

.

Позначимо , тоді

-

- загальний розв’язок. За початковою умовою знаходимо С:

, тоді

. (4)

Якщо при обсяг продукції дорівнював , тобто

.

Отже, ми знайшли закон випуску продукції в залежності від часу.

Зауважимо, що д. р. (3) описує також ріст народонаселення, динаміку росту цін при постійній інфляції, процес радіоактивного розпаду (див. попередню задачу) та ін.

3⁰. Задача про випуск продукції при змінній ціні.

Із збільшенням об’єму виробництва продукції її ціна p починає падати в результаті насичення ринку, тобто ціна на реалізовану продукцію (крива попиту) є спадною функцією, тому д. р. (3) тепер прийме вигляд

, (5)

яке далі залишається рівнянням з відокремлюваними змінними. Розглянемо наступний приклад.

Приклад. Знайти закон зміни обсягу реалізованої продукції , якщо відомо, що крива попиту задана рівнянням

,

відомий коефіцієнт пропорційності між швидкістю випуску продукції та інвестицією (див. (1)) , норма інвестиції , (умовних одиниць).

Розв’язання. Рівняння (5) в умовах задачі матиме вигляд

(6)

Дріб розкладемо на прості:

Тоді

.

При знаходимо С: . Отже,

- (7)

- закон обсягу випуску продукції при змінній ціні.

Зауважимо, що подібними рівняннями описується процес поширення інформації (реклами), динаміка епідемій, процес розмноження бактерій в обмеженому середовищі та ін.

4⁰. Ефективність реклами. Припустимо, що в торгівельній мережі реалізується продукція В, про яку в момент часу t з числа потенціальних покупців N знають лише x. Для прискорення збуту продукції В, по радіо та телебаченню були дані рекламні оголошення. Вважаємо, що після рекламних оголошень швидкість зміни числа покупців, які знають про продукцію В, пропорційна як числу тих, хто знає про товар, так і числу покупців, які про нього не знають. Домовимось, що час відраховується після рекламних оголошень, коли про товар знало людей. Знайти залежність числа x – проінформованих покупців від часу t.

Розв’язання. За час кількість проінформованих покупців зміниться на . - середня швидкість зміни проінформованих покупців, - швидкість зміни x в момент часу t. За умовою задачі маємо

, . (8)

Останнє рівняння відрізняється від д. р. (6) тільки позначеннями, тому аналогічно попередньому отримуємо:

.

Відповідно до початкової умови ( ) маємо

Із співвідношення

знаходимо

. (9)

Крива, побудована відповідно до рівняння (9) має вигляд

зображений на рисунку і носить назву логістичної кривої.

Рис.