![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Задачі на складання д. р.10. Задача про радіоактивний розпад. Відомо, що швидкість розпаду радію в момент часу t пропорційна наявній в цей момент масі m(t). Знайти закон радіоактивного розпаду, якщо відомо, що початкова маса дорівнювала Розв’язання. Позначимо
- середня швидкість розпаду, яка показує на скільки одиниць змінюється маса за одиницю часу. Границя цього відношення при Згідно фізичного закону маємо
де k - коефіцієнт пропорційності. Д. р. (1) є рівнянням радіоактивного розпаду, воно відноситься до д. р. з відокремлюваними змінними. Розв’яжемо його Зауважимо, що в останньому випадку довільну сталу при інтегруванні ми взяли у формі ln C, це для того, щоб легше було звільнитися від логарифмів. Крім того, відомо, що lne=1, тому Отже, далі запишемо
Функція (2) є загальним розв’язком д. р. (1). Згідно з початковою умовою Таким чином, запишемо
Знайдемо тепер коефіцієнт пропорційності за умовою, що за t=23 роки маса зменшується на 1%, тобто від початкової маси
Відомо, що для еквівалентних нескінченно малих Далі маємо Отже закон радіоактивного розпаду радію Знайдемо період напіврозпаду Т. Це час Т, за який початкова маса
Внаслідок логарифмування знаходимо
20.Задача про випуск продукції при сталій ціні. Нехай до моменту часу t реалізовано продукції певної галузі в обсязі Позначимо через
де l - коефіцієнт пропорційності. Вважаючи, що величина інвестиції складає фіксовану величину доходу
де m так звана норма інвестиції (m-const),
- диференціальне рівняння закону випуску продукції, де Розв’яжемо д. р. (3): . Позначимо
- загальний розв’язок. За початковою умовою
Якщо при
Отже, ми знайшли закон випуску продукції в залежності від часу. Зауважимо, що д. р. (3) описує також ріст народонаселення, динаміку росту цін при постійній інфляції, процес радіоактивного розпаду (див. попередню задачу) та ін. 30. Задача про випуск продукції при змінній ціні. Із збільшенням об’єму виробництва продукції
яке далі залишається рівнянням з відокремлюваними змінними. Розглянемо наступний приклад. Приклад. Знайти закон зміни обсягу реалізованої продукції
відомий коефіцієнт пропорційності між швидкістю випуску продукції та інвестицією Розв’язання. Рівняння (5) в умовах задачі матиме вигляд
Дріб розкладемо на прості: Тоді
При
- закон обсягу випуску продукції при змінній ціні. Зауважимо, що подібними рівняннями описується процес поширення інформації (реклами), динаміка епідемій, процес розмноження бактерій в обмеженому середовищі та ін. 40. Ефективність реклами. Припустимо, що в торгівельній мережі реалізується продукція В, про яку в момент часу t з числа потенціальних покупців N знають лише x. Для прискорення збуту продукції В, по радіо та телебаченню були дані рекламні оголошення. Вважаємо, що після рекламних оголошень швидкість зміни числа покупців, які знають про продукцію В, пропорційна як числу тих, хто знає про товар, так і числу покупців, які про нього не знають. Домовимось, що час відраховується після рекламних оголошень, коли про товар знало Розв’язання. За час
Останнє рівняння відрізняється від д. р. (6) тільки позначеннями, тому аналогічно попередньому отримуємо:
Відповідно до початкової умови ( Із співвідношення знаходимо
Крива, побудована відповідно до рівняння (9) має вигляд зображений на рисунку і носить назву логістичної кривої.
Рис.
|