Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Лінійні однорідні д. р. другого порядку із сталими коефіцієнтами. Теорема про структуру загального розв’язку




Читайте также:
  1. A. Визначення загального обсягу необхідних інвестиційних ресурсів
  2. III. Принцип, касающийся обязанности в соответствии с Ус­тавом, не вмешиваться в дела, входящие во внутреннюю ком­петенцию другого государства (принцип невмешательства).
  3. Quot;Про затвердження Порядку проведення військової підготовки студентів вищих навчальних закладів за програмою підготовки офіцерів запасу".
  4. А) допомозі Німеччини – застосуванню насильницьких методів наведення порядку та дисципліни
  5. Аналіз динаміки загального обсягу товарообігу
  6. Библиотека стилей - команда меню Формат предназначенная для копирования всех стилей из другого документа или шаблона в текущий.
  7. Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного ОДУ n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.
  8. Бухгалтерський облік доходів загального фонду та спеціального фонду
  9. В структуру сознания входит ряд элементов, каждый из которых отвечает за определенную функцию сознания.
  10. В) профессиональную структуру

Рівняння вигляду:

,

де p і q – відомі сталі, f(x) – відома функція називається лінійним д. р. ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами. Якщо , то д. р.

називається лінійним однорідним д. р. (скорочено ЛОДР) із сталими коефіцієнтами.

Якщо ж , то перше з д. р. називається неоднорідним(ЛНДР)

Теорема: Якщо функції і є розв’язками д. р.

,

то функція , де С1 і С2 довільні сталі, теж є розв’язком цього д. р., тобто лінійна комбінація двох розв’язків і теж є розв’язком ЛОДР.

Доведення. Згідно умови теореми маємо

Після почленного домноження на довільні сталі С1 і С2 кожної з рівностей та додавання їх, отримаємо:

.

Згідно властивості лінійної операції диференціювання можемо записати

.

Тому, далі, маємо

,

а це означає, що функція теж є розв’язком ЛОДР.

Означення. Дві функції і називаються лінійно незалежними, якщо їх відношення , тобто .

Якщо ж , тобто , то функції і називаються лінійно залежними.

Приклади.1. Функції і - лінійно незалежні , бо .

2. Функції і - лінійно незалежні, бо .

3. Функції і - лінійно залежні, бо , тобто .

Постановка Задачі Коші, як і для д. р. І-го порядку, полягає в тому , щоб знайти розв’язок ЛОДР

при початкових умовах , .

Важливою для розв’язання задачі Коші є така теорема (подаємо без доведення).

Теорема. (про структуру загального розв’язку ЛОДР). Якщо і - лінійно незалежні розв’язки ЛОДР

,

де p і q– сталі, то загальний розв’язок цього рівняння має вигляд

,

де С1 і С2довільні сталі.

Через позначено загальний розв’язок однорідного д. р.


Дата добавления: 2015-05-08; просмотров: 45; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты