Д. р. з відокремлюваними змінними

Означення.Д. р. називається з відокремлюваними змінними, якщо можна розкласти на множники функцію

так, що один із співмножників залежить тільки від х, а другий – тільки від у.

При розв’язанні можна дотримуватись такої послідовності.

1. Розкладаємо функцію на множники

2. Замінюємо відношенням диференціалів , тоді дістанемо

3. Розділимо (відокремлемо) змінні так, щоб при dyбув вираз відносно y, а при dx – вираз відносно x, тобто

( ).

4. Інтегруємо кожну з частин по відповідним змінним

.

Якщо позначити відповідні первісні через і , то отримаємо загальний інтеграл

.

Якщо із останньої рівності знайдемо y в явній формі , то отримаємо загальний розв’язок.

Аналогічним чином означається як д. р. з відокремлюваними змінними рівняння записане в диференціалах:

Д. р. (1) буде з відокремлюваними змінними, якщо кожну з функцій можна розкласти на множники:

Похідну замінимо відношенням

Інтегруючи почленно, маємо

- загальний інтеграл, де - відповідні первісні.