Пример 3.1. Решение уравнения методом половинного деления.

Требуется найти корни уравнения (3.1) для функции методом половинного деления.

Решение. Сначала построим график данной функции (приведен на рис.3.1).

Рис. 3.1.

Для построения графика используется кнопка двумерного графика в декартовых координатах на панели геометрических построений Graph . График показывает наличие двух корней . На рисунке 3.1 вышеупомянутый алгоритм реализован в виде программы MathCAD , использующей ранжированную переменную. Для сравнения приведены результаты вычислений корня с помощью встроенной функции , находящей итерационным методом нуль функции на отрезке . На рисунке 3.2 тот же пример реализован с помощью программных блоков. Приведены несколько вариантов: 1) самый короткий выдает только корень уравнения; 2) и 3) выдают также и число итераций (в одном использован оператор для организации бесконечного цикла с выходом через операторы , а в другом организован конечный цикл и, наконец, 4) выдает всю последовательность приближений.

Рис. 3.2.

Существенным недостатком метода половинного деления является отсутствие учета поведения функции . Можно предположить, что сходимость метода ускорится, если, например, делить отрезок не пополам, а пропорционально значениям функции на концах отрезка. В таком случае точка будет точкой пересечения прямой, проходящей через точки и с осью абсцисс. Решая систему из уравнения секущей : и оси , получим значение :

(3.4)

Такой вариант метода дихотомии называют методом хорд, методом пропорциональных частей или методом линейной интерполяции. Программный блок, реализующий итерационный процесс по методу хорд можно взять почти таким же, как и для метода половинного деления с очевидной заменой, связанной с вычислением координаты пробной точки (3.4).

Сравнение скоростей сходимости метода хорд и метода половинного деления показывает, что при отсутствии ограничений на функцию выигрывать по скорости может любой из них. В примере, представленном на рисунках (3.2)-(3.3) метод половинного деления быстрее приводит к результату.

Пример 3.2. Решение уравнения методом хорд.Требуется найти корни уравнения (3.1) для функции методом хорд.

Рис. 3.3.

Решение. График данной функции приведен на рисунках 3.1 и 3.3. Первая хорда соединяет точки графика с абсциссами -2 и -1, она пересекает ось в точке -1,283. Вторая хорда соединяет точки с абсциссами -2 и -1,283, она пересекает ось в точке -1,351. Третья хорда проведена через точки с абсциссами -2 и -1,351. Программа, составленная по образцу, взятому для метода половинного деления (рис. 3.2), представлена на рисунке 3.4.

Рис. 3.4.

Требование малости абсолютной погрешности в качестве условия остановки процесса итераций можно заменить на требование малости невязки. Процесс итераций закончится гораздо быстрее

К самым популярным итерационным методам относится и метод Ньютона (в западной литературе его называют метод Ньютона - Рафсона, а из геометрических соображений – методом касательных).

Пусть корень уравнения (3.1) отделен на отрезке , причем первая и вторая производные сохраняют на нем определенные знаки. Если очередное приближение корня, то уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

. (3.5)

Следующее приближение по методу Ньютона дает точка пересечения этой касательной с осью абсцисс. Подстановка координат данной точки в уравнение (3.5) приводит к рекуррентной формуле:

.. (3.6)

Выбор начальной точки подсказывает следующая теорема. [Демидович, Марон]

Пусть непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка : , а внутри этого отрезка производные и сохраняют определенные знаки. Если при этом на выбрана начальная точка так, что и совпадают по знаку: , то последовательность , определяемая формулой (3.6), монотонно сходится к корню .

Критерий окончания итерационного процесса можно получить из следующего неравенства [Вержбицкий] .

Поскольку в процессе итераций отрезок, на котором находится корень, стягивается к точке , знаменатель в этом неравенстве будет приближаться к . Следовательно, в условии остановки процесса можно заменить на .

Пример 3.3. Решение уравнения методом касательных.Требуется найти корни уравнения (3.1) для функции методом касательных.

Решение. График данной функции приведен на рисунках 3.1 и 3.5, а возможная программа представлена на рисунке 3.6.

Рис. 3.5

Первая касательная проведена через точку графика с абсциссой -2. Она пересекает ось в точке -1,474. Через точку графика с такой абсциссой проведена вторая касательная, она пересекает ось в точке -1,373. Через точку графика с такой абсциссой проведена третья касательная и т.д.

Рис. 3.6.

В данном примере значение модуля производной вблизи корней больше единицы и условие остановки от учета модуля не становится более строгим.

Заметим, что итерационный процесс Ньютона строится по той же схеме, что и процессы Якоби и Зейделя

. (3.7)

Такая итерационная схема относится к методам простых итераций. Если предположить, что функция непрерывна на некотором отрезке , а последовательность , определяемая формулой (3.7) сходится , то этот предел будет корнем уравнения

. (3.8)

Нахождение корня уравнения (3.8) в математике называют задачей о неподвижной точке при отображении из в . Существование и единственность такой точки гарантируется, если отображение будет сжимающим отображением, т.е.

1) ,

2) .

Для дифференцируемой функции эти условия и теорема Лагранжа позволяют сформулировать теорему о сходимости метода простых итераций.

Пусть 1) функция дифференцируема на отрезке; 2) для любого ; 3) найдется такое число , что для любого .

Тогда уравнение (3.8) будет иметь на единственный корень , к которому сходится последовательность итераций (3.7) при любом .

При этом справедливы следующие оценки погрешностей

(3.9)

(3.10)

Неравенство (3.9) позволяет составить условие остановки итерационного процесса. Неравенство (3.10) можно использовать для оценки числа итераций, необходимого для

Сходимость итерационного процесса определяется значением производной функции на интервале изоляции корня. Это проиллюстрировано на рисунке 3.7:

Рис. 3.7. а) односторонняя сходимость; б) односторонняя расходимость; в) двусторонняя сходимость; г) двусторонняя расходимость.

Уравнение (3.1) можно преобразовать к уравнению (3.8), для которого итерационный процесс (3.7) монотонно сходится к корню .

Сначала предположим, что гладкая функция монотонно возрастает на отрезке . Следовательно, её непрерывная производная положительна и ограничена на :

.

В таком случае можно принять, что

. (3.10)

Проверим, что для такой функции выполняется достаточное условие сходимости:

.

В случае монотонно убывающей функции с отрицательной производной проще всего заменить уравнение (3.1) на равносильное уравнение и воспользоваться только, что предложенным преобразованием (3.10).

Пример 3.4. Решение уравнения методом простых итераций.Требуется найти корни уравнения (3.1) для функции методом касательных.

Решение. График данной функции и её производной, а также программа решения уравнения (3.1) методом простых итераций представлены на рисунке 3.8 для корня, расположенного на отрезке .

Рис. 3.8

Для корня, расположенного на отрезке , производная отрицательна. Результаты вышеупомянутой перемены знака функции приводятся на рисунке 3.9.

Рис. 3.9

В домашнем задании №3 каждый студент решает всеми предложенными методами с точностью 0.001 уравнение со стр.39 из книги Ракитина и Первушина. Номер примера – его номер в журнале группы.