Загальний розв’язок ЛОДР ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння

Будемо знаходити розв’язок ЛОДР

(1)

( p і q – сталі). Із вигляду д. р. (1) виходить, що шуканий розв’язок повинен бути такою функцією, яка при диференціюванні змінюється з точністю до сталого множника так, що , , стають подібними і їх сума дорівнює нулю.

Такою може бути функція , де k – стала. Тоді підставляючи , і в д. р. (1), маємо

. (2)

Квадратне рівняння (2) називається характеристичним рівнянням, що відповідає даному ЛОДР (1).

Відомо, що корені квадратного рівняння можуть бути:

а) дійсними і різними ;

б) дійсними і рівними (кратними, позначимо ;

в) комплексними .

В залежності від цих випадків загальний розв’язок ЛОДР (1) записується згідно такій теоремі.

Теорема.Нехай дано ЛОДР із сталими коефіцієнтами

,

тоді його загальний розв’язок має вигляд:

1) , (3)

якщо корені характеристичного рівняння дійсні і різні ;

2) , (4)

якщо корені характеристичного рівняння кратні ( ;

3) (5)

якщо корені характеристичного рівняння комплексні .

Доведення.1) Нехай - дійні корені характеристичного рівняння, тоді і є розв’язками ЛОДР (1), крім того ці функції лінійно незалежні, , тому згідно з теоремою про структуру загальний розв’язок має вигляд (3).

2) Нехай корені характеристичного рівняння кратні , тоді маємо один розв’язок . Другим розв’язком буде функція . Переконаємось в цьому. Знайдемо , . Підставимо в ліву частину д. р., тоді

тому, що k – корінь , а за теоремою Вієта сума коренів , тобто .

Отже, функція - теж розв’язок д. р. (1) . Крім того і - лінійно незалежні ( ), тому їх лінійна комбінація (4) є загальним розв’язком д. р. (1).

Формулу (5) подаємо без доведення.

Приклади.Знайти загальний розв’язок рівняння.

1. .

2. .

3. .

Розв’язання.1. Складаємо характеристичне рівняння . За формулою (3)

.

2. ,

.

3. . За формулою маємо

( тут взято ).Отже, , тому за формулою (5)

.

4. Знайти розв’язок задачі Коші.

, .

Розв’язання. , . За формулою (5) маємо

Знайдемо ще .

Згідно початкових умов отримуємо

Отже, частинний розв’язок, що задовольняє початкові умови, має вигляд

.