Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР) ІІ-го порядку. Теорема про структуру розв’язку

Лінійне неоднорідне д. р. ІІ-го порядку має вигляд

, (1)

де f(x) – відома неперервна на деякому інтервалі функція (вільний член). Розглянемо окремий випадок, коли p і q – сталі. Нехай відповідне однорідне рівняння

(2)

має загальний розв’язок , який знаходиться за однією з формул (3) - (5) попереднього параграфа. Нехай, далі, - деякий частинний розв’язок ЛНДР (1). В подальшому будемо опиратись на таку теорему (подаємо без доведення).

Теорема(про структуру загального розв’язку ЛНДР). Загальний розв’язок лінійного неоднорідного д. р. (1) ( ) дорівнює сумі загального розв’язку ( ) відповідного однорідного д. р. (2) і частинного розв’язку ( ) початкового неоднорідного д. р. (1), тобто

, (3)

Далі зупинимось на двох випадках розв’язання ЛНДР, коли вільний член має спеціальний вигляд:

1) , де - заданий многочлен, - відоме число;

2) , де - задані.

12. Розв’язання ЛНДР ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами і вільним членом .