Геометрический смысл уравнения

Глава 1. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия

Уравнения вида

,

(1)

где - независимая переменная; - искомая функция; - ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то оно принимает вид

(2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, например, функция , является решением уравнения . Находим производную функции : и подставляем функцию и ее производную в уравнение .

.

При подстановке получили тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Теорема (Коши).Если функция и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области плоскости , то какова бы ни была внутренняя точка области , в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условиям:

.

(3)

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения (2) решать вопрос о существовании и единственности его решения.

Условия (3), в силу которых функция принимает заданное значение в заданной точке , называют начальными условиями решения.

Отыскание решения уравнения (2), удовлетворяющего начальным условиям (3), называется задачей Коши.

Общим решением уравнения (2) в некоторой области плоскости называется функция , зависящая от и произвольной постоянной , если она является решением у равнения (2) при любом значении постоянной , и если при любых начальных условиях (3) таких, что , существует единственное значение постоянной такое, что функция удовлетворяет данным начальным условиям .

Частным решением уравнения (2) в области называется функция , которая получается из общего решения при определенном значении постоянной .

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости , зависящее от одной произвольной постоянной , а частное решение - одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку .

Пример 1. Рассмотрим уравнение .

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Оно удовлетворяет всем условиям теоремы Коши, так как функции определены и непрерывны на всей плоскости . Проверим, что функция , где - произвольная постоянная, является общим решением данного уравнения во всей плоскости .

Геометрически это общее решение представляет собой семейство кубических парабол. При различных значениях постоянной получаем различные решения данного уравнения. Например, если , то , если , то , если , то .

Для решения какой-нибудь задачи Коши, т.е. отыскания частного решения, зададим произвольные начальные условия: , . Подставляя эти значения в общее решение вместо и , получаем , откуда . Таким образом, найдено частное решение . Геометрически это означает, что из семейства кубических парабол выбрана одна, проходящая через заданную точку (рис 1).

Рис. 1

Геометрический смысл уравнения

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка и пусть функция - его решение. График решения представляет собой непрерывную интегральную кривую, через каждую точку которой можно провести касательную. Из уравнения следует, что угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в каждой ее точке равен значению в этой точке правой части уравнения . Таким образом, уравнение устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к графику интегральной кривой в той же точке. Зная и , можно указать направление касательной к этой интегральной кривой в точке .

Сопоставим каждой точке интегральной кривой направленный отрезок, угловой коэффициент которого равен . Получим так называемое поле направлений данного уравнения, раскрывающее геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Итак, с геометрической точки зрения уравнение определяет на плоскости поле направлений, а решение этого уравнения – интегральная кривая, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.

Построив на плоскости поле направлений данного дифференциального уравнения, можно приближенно построить интегральные кривые.