Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Уравнение вида

(19)

называется дифференциальным уравнением второго порядка, разрешенным относительно производной.

Рассмотрим три частных случая, когда решение уравнения (19) с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такое преобразование уравнения (19) называется понижением порядка.

1) Уравнение вида . Уравнение не содержит и . Введем новую функцию , полагая . Тогда , и уравнение превращается в уравнение первого порядка: с искомой функцией . Решая его, находим: . Так как , то .

Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение:

,

где и - произвольные постоянные.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Полагая , получаем уравнение первого порядка . Интегрируя его, найдем . Заменяя на и интегрируя еще раз, находим искомое общее решение:

.

2) Уравнение вида . Уравнение не содержит . Положим, как и в предыдущем случае, ; тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно : . Решая его, найдем . Так как , то . Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение

,

где и - произвольные постоянные.

Пример 2. . Найти общее решение уравнения .

Полагая , получаем линейное уравнение первого порядка . Решая его, найдем . Тогда - искомое решение.

3) Уравнение вида . Уравнение не содержит . Вводим новую функцию , полагая . Тогда

.

Подставляя в уравнение выражения для , получаем уравнение первого порядка относительно как функции от :

.

Решая его, найдем . Так как , то . Отсюда . Получено уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение данного уравнения:

,

где - произвольные постоянные.

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Полагая и учитывая, что , получаем . Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, имеем , откуда . Учитывая, что , находим: , откуда получаем искомое решение

или .

При сокращении на было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения ).