Порядка. где - искомая функция, а ,

Уравнение вида

,

(20)

где - искомая функция, а , - непрерывные функции на некотором интервале , называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если , то уравнение (20) называется линейным однородным уравнением. Если же , то уравнение (20) называется линейным неоднородным уравнением.

Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных уравнений.

Теорема. 1. Если функции и - решения уравнения

,

(21)

то функция при любых значениях постоянных и также является решением уравнения (21).

Итак, функция вида с произвольными постоянными и является решением уравнения (21). Возникает вопрос, не является ли это решение общим решением уравнения (21). Покажем, что при некоторых условиях функция является общим решением уравнения (21). Предварительно введем понятия линейной зависимости и линейной независимости функций и .

Функции и называются линейно зависимыми на , если существуют такие числа и , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для любого имеет место равенство

.

(22)

Очевидно, что если функции и линейно зависимы, то они пропорциональны. Действительно, если , причем и , то . Верно и обратное.

Функции и называются линейно независимыми на , если не существует таких чисел и , из которых хоть одно отлично от нуля, что для любого имеет место равенство (22).

Очевидно, что если функции и линейно независимы, то они не пропорциональны. Так, например, функции и линейно независимы на любом интервале , поскольку , а функции и линейно зависимы на любом промежутке, так как .

Предположим теперь, что функции и являются решениями уравнения (21). Вопрос о том, являются ли они линейно зависимыми или линейно независимыми, решают с помощью определителя Вронского:

.

(23)

Определитель Вронского является функцией, определенной на , и обозначается .

Теорема 2. Если функции и линейно зависимы на , то определитель Вронского, составленный из них, равен нулю на этом интервале.

Теорема 3. Если решения и уравнения (21) линейно независимы на , то определитель Вронского, составленный из них, отличен от нуля на этом интервале.

Установим, при каких условиях функция является общим решением линейного однородного уравнения (21).

Теорема 4. Если функции и - линейно независимые на решения уравнения (21), то функция

,

где и - произвольные постоянные, является общим решением уравнения (21).

Пример. Найти общее решение уравнения .

Имеем линейное однородное уравнение. Заметим, что его частными решениями являются и . Так как определитель Вронского

отличен от нуля, то эти решения линейно независимы на всей числовой прямой. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде , где и - произвольные постоянные.

Найдем общее решение уравнения (21), когда известно только одно частное решение этого уравнения. Пусть - частное решение уравнения (21). Введем новую функцию , полагая . Тогда . Подставляя выражения для в уравнение (21) и группируя слагаемые, получаем

.

Так как - решение уравнения (21), то выражение в первых квадратных скобках равно нулю и уравнение принимает вид

.

Порядок этого уравнения можно понизить, полагая где - новая искомая функция:

.

Получено уравнение первого порядка относительно функции с разделяющимися переменными. Решая его, находим

,

где - произвольная постоянная. Возвращаясь к переменной и умножая выражение для на , получаем общее решение уравнения (21):

,

где и - произвольные постоянные.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение линейного дифференциального уравнения второго порядка.
2. Что называется линейным однородным уравнением?
3. Что называется линейным неоднородным уравнением?
4. Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых функций.
5. Что называется определителем Вронского?
6. Чему равен определитель Вронского, когда функции и , являющиеся решениями однородного уравнения линейно зависимы?