Порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим неоднородное линейное уравнение второго порядка , (32)

Рассмотрим неоднородное линейное уравнение второго порядка

,

(32)

где и - вещественные числа; - непрерывная функция.

Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Так как общее решение однородного уравнения мы находить умеем, поэтому остается рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Для нахождения частного решения можно применять метод вариации произвольных постоянных. Однако если в правой части уравнения (32) – многочлен, либо показательная функция, либо тригонометрическая функция или , либо линейная комбинация перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.

Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (32).

1)Правая часть имеет вид

,

где - многочлен степени . Тогда частное решение можно искать в виде

,

где - многочлен той же степени, что и , а - число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. пример 2 в §6). Так как правая часть уравнения - многочлен первой степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю , то частное решение ищем в виде

,

где и - неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя в данное уравнение, найдем

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства: , находим: . Итак, частное решение данного уравнения имеет вид а его общее решение

.

2) Правая часть имеет вид

,

где - многочлен степени . Тогда частное решение следует искать в виде

,

где - многочлен той же степени, что и , а - число корней характеристического уравнения равных . Если , то , т.е. имеет место случай 1).

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни . Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . В правой части этого уравнения - произведение многочлена первой степени на показательную функцию при . Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень . В данном случае - многочлен первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде

.

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в общих частях равенства: , находим . Подставляя найденные значения и в выражение для , получаем частное решение данного уравнения ; общее решение имеет вид

.

3) Правая часть имеет вид

,

где a, b и - известные числа. Тогда частное решение надо искать в виде

,

где А и В – неизвестные коэффициенты, а r – число корней характеристического уравнения, равных .

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни , . Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения . В правой части равенства – тригонометрическая функция , т. е. , , . Так как - корень характеристического уравнения, то и частное решение надо искать в виде

.

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

,

откуда , . Таким образом, частное решение ; общее решение уравнения

.

4) Правая часть имеет вид

,

где - многочлен степени , а - многочлен степени . Тогда частное решение следует искать в виде

,

где и - многочлены степени - число корней характеристического уравнения, равных .

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Здесь характеристическое уравнение имеет корни , и . Общее решение однородного уравнения таково: . В правой части уравнения - произведение многочлена нулевой степени, показательной и тригонометрической функций, так что . Число не является корнем характеристического уравнения, поэтому , и частное решение ищем в виде

.

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

.

Приравнивая коэффициенты при , находим

,

откуда Таким образом, частное решение , а общее решение уравнения

.

Теорема. Если - решение уравнения

,

а - решение уравнения

,

то сумма является решением уравнения

.

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения .

Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функций и , то в соответствии с выше приведенной теоремой частное решение данного уравнения можно искать в виде

,

где - частное решение уравнения , а - частное решение уравнения .

Сначала найдем частное решение . Так как число не является корнем характеристического уравнения , то частное решение будем искать в виде . Подставляя , и в уравнение и сравнивая коэффициенты при и , получаем , откуда и, следовательно, .

Теперь найдем частное решение . Будем его искать в виде , так как число не является корнем характеристического уравнения. Подставляя , и в уравнение , имеем . Следовательно, .

Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид

,

а общее решение этого уравнения

.

Контрольные вопросы:

1. В каком виде ищем частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , где - многочлен степени ?
2. В каком виде ищем частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , где - многочлен степени п?
3. В каком виде ищем частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , а, b и β – числа?
4. В каком виде ищем частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид ?