Понятия. где - независимая переменная; - искомая функция;

Уравнение вида

,

где - независимая переменная; - искомая функция; - ее производные, называется дифференциальным уравнением n–го порядка.

Обычно изучают уравнения, которые могут быть записаны в виде, разрешенном относительно старшей производной

.

(17)

Решением уравнения (17) называется функция , , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения называется интегральной кривой.

Теорема (Коши). Если функция и ее частные производные ,…, определены и непрерывны в некоторой области пространства переменных то какова бы ни была внутренняя точка области , в некоторой окрестности точки существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условиям

…, при .

(18)

Условия (18) называют начальными условиями решения.

Как и для уравнения первого порядка, задачу отыскания решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

Функция , зависящая от и n произвольных постоянных ,…, , называется общим решением уравнения (17) в некоторой области , если она является решением уравнения (17) при любых значениях постоянных ,…, и если при любых начальных условиях (18) существуют единственные значения постоянных ,…, такие, что функция удовлетворяет данным начальным условиям.

Любая функция , получающаяся из общего решения уравнения (17) при определенных значениях постоянных ,…, , называется частным решением.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение дифференциального уравнения n-го порядка.
2. Что называется решением дифференциального уравнения n-го порядка?
3. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения n-го порядка.
4. Что называется частным решением дифференциального уравнения n-го порядка?
5. Что называется задачей Коши?