Порядка

Рассмотрим основные свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (20):

.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Общее решение уравнения (20) есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Таким образом , чтобы найти общее решение линейного неоднородного уравнения, нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения и какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной. Покажем, как можно найти частное решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть - общее решение однородного уравнения

. Будем искать частное решение неоднородного уравнения (20) в виде

,

(24)

рассматривая и как некоторые ископаемые функции от . Продифференцируем последнее равенство

,

(25)

Подберем функции так, чтобы выполнялось равенство

.

(26)

Тогда равенство (25) принимает вид

.

Дифференцируя это равенство, найдем :

.

Подставляя выражения для и в уравнение (20) и группируя слагаемые, получаем

Выражения в квадратных скобках равны нулю, так как и - решения однородного уравнения. Поэтому последнее равенство принимает вид

(27)

Таким образом, функция (24) является решением уравнения (20), если функции и удовлетворяют уравнениям (26) и (27).

Объединяя их, получаем систему уравнений

(28)

в которой и - неизвестны, , , , и - известны. Так как определителем этой системы является определитель Вронского

,

составленный из линейно независимых решений и однородного уравнения (21), то он по теореме (об определителе Вронского, составленном из линейно независимых решений) не равен нулю, а значит, система (28) имеет единственное решение относительно и . Решая эту систему, получаем

,

где и - известные функции, откуда, интегрируя, найдем и . Подставляя полученные выражения для и в равенство (24), получаем искомое частное решение уравнения (20).

Пример. Найти частное решение уравнения .

Общее решение данного уравнения соответствующего однородного уравнения . Поэтому частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

.

(29)

Система (28) для нахождения и в данном случае имеет вид

Складывая эти уравнения, найдем . Отсюда, интегрируя, получаем

.

Произвольную постоянную не пишем, так как ищем какое-нибудь частное решение. Подставляя выражение в первое из уравнений системы, найдем , откуда, интегрируя, получаем

.

Подставляя найденные выражения и в равенство (29), получаем частное решение данного неоднородного уравнения:

.

Заметим, что, найдя частное решение неоднородного уравнения и зная общее решение соответствующего однородного уравнения, на основании равенства можно записать общее решение данного неоднородного уравнения:

,

где и - произвольные постоянные.