Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение вида

,

(11)

где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции в некоторой области , называется уравнением в полных дифференциалах.

Если уравнение (11) является уравнением в полных дифференциалах, то его можно записать следующим образом:

,

где - такая функция, что .

Нахождение решения уравнения (11) сводится к отысканию такой функции , дифференциал которой равен .

Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы

.

(12)

Допустим, что условие (12) выполнено. Тогда существует функция такая, что . Отсюда

, .

(13)

Интегрируя соотношение по , находим

,

(14)

где - произвольная функция от . Теперь подберем функцию так, чтобы выполнялось второе из соотношений (13). Для этого продифференцируем правую часть равенства (14) по и производную приравняем :

.

(15)

Из полученного уравнения (15) определяем и, интегрируя, находим . Подставляя найденную функцию в соотношении (14), получаем искомую функцию .

Чтобы выделить из общего решения частное, удовлетворяющее начальным условиям , надо в общем решении и заменить начальными значениями. Тогда и - искомое частное решение.

Пример 4.Найти общее решение уравнения и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Здесь , . Так как

,

то выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Имеем

.

(16)

Найдем функцию , используя формулу (15):

;

; ,

.

Подставляя найденное в (16), получаем

.

Данное уравнение принимает вид , а его общее решение определяется уравнением

.

Полагая ( ), получаем окончательное уравнение, определяющее неявно общее решение исходного дифференциального уравнения

.

Найдем теперь значение постоянной , при котором частное решение удовлетворяет заданным начальным условиям. Имеем: , откуда , и искомое частное решение определяется уравнением

.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.
2. Что называется решением дифференциального уравнения первого порядка?
3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
4. В чем заключается задача Коши?
5. Дайте определение общего и частного решений дифференциального уравнения первого порядка.
6. В чем заключается геометрический смысл дифференциального уравнения?
7. Что представляет собой геометрически общее решение уравнения?
8. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
9. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.
10. Дайте определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах.