Уравнение вида

,

(5)

где и - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если , то уравнение (5) называется линейным однородным уравнением. Если , то уравнение (5) называется линейным неоднородным уравнением.

Для нахождения общего решения уравнения (5) может быть применен метод вариации постоянной.

В этом методе сначала находят общее решение линейного однородного уравнения

,

(6)

соответствующего данному неоднородному уравнению (5). Уравнение (6) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем

, .

Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения (6):

, или ,

(7)

где - произвольная постоянная.

Теперь найдем общее решение уравнения (5) в виде (7), где будем считать не постоянной, а новой неизвестной функцией от , т.е. в виде

.

(8)

Чтобы найти функцию и, тем самым, решение в виде (8), подставим функцию (8) в уравнение (5). Получим

или

.

(9)

Итак, чтобы функция (8) являлась решением уравнения (5), функция должна удовлетворять уравнению (9). Интегрируя его, находим

,

где - произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение для в соотношение (8), получаем общее решение линейного уравнения (5):

.

(10)

При решении конкретных примеров проще повторять каждый раз все приведенные выше выкладки, чем использовать громоздкую формулу (10).

Пример 3.Найти общее решение уравнения .

Данное уравнение является линейным. Здесь , . Решаем сначала соответствующее однородное уравнение . Разделяя переменные и интегрируя, находим

или .

Ищем общее решение уравнения в виде . Дифференцируя, имеем . Подставляя в данное уравнение выражения для и , получаем

или ,

откуда , где - произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

или .