Порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка

,

(30)

где - вещественные числа.

Теорема 1. 1) Если число - вещественный корень уравнения

,

(31)

то функция является решением уравнения (30).

2) если числа и ( ) – комплексные корни уравнения (31), то функции и являются решениями уравнения (30).

Уравнение (31) называется характеристическим уравнением данного уравнения (30).

Характеристическое уравнение (31) является квадратным уравнением и, следовательно, имеет два корня. Обозначим их и .

Теорема 2. 1) Если корни характеристического уравнения вещественные и различные , то общее решение уравнения (30) имеет вид

;

2) если корни характеристического уравнения вещественные и равные , то общее решение имеет вид

;

3) если корни характеристического уравнения комплексные , , , то общее решение имеет вид

.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения . Общее решение уравнения имеет вид .

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни вещественные и равные. Соответствующие частные решения уравнения . Общее решение уравнения имеет вид .

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни комплексные. Соответствующие частные решения уравнения . Общее решение уравнения имеет вид .

Контрольные вопросы:

1. Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения?

2.Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения?

3.Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения?