Руководство к выполнению заданий, направленных на использование методов научного познания в обучении математике

Методы научного познания делятся на 2 группы: общенаучные и специальные. К общенаучным методам относятся наблюдение, опыт, сравнение, обобщение, абстрагирование и конкретизация, индукция и дедукция, аналогия, анализ и синтез.

В создании любой математической теории можно выделить 3 основных этапа: 1) накопление каких-либо фактов; 2) появление на основании этих фактов дедуктивной теории; 3) приложение этой теории к практике. Основными методами научного познания на первом этапе являются наблюдение, опыт, сравнение.

Наблюдение – метод изучения, фиксирования свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях, и в той естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте.

Опыт – метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественное состояние и развитие, создавая для них искусственные условия, искусственно расчленяя их на части и соединяя с другими объектами и явлениями. Любой опыт связан с наблюдением и сравнением.

Наблюдение, опыт, сравнение используются с 1 по 11 класс, но их роль меняется в зависимости от возрастных особенностей учащихся.

Сравнение – мыслительная операция, состоящая в сопоставлении изучаемых объектов с целью выяснения общего и различного.

Обобщение – процесс мысленного объединения выделенных общих, существенных свойств предметов и явлений. Обобщение возможно через конкретизацию и абстрагирование. Абстрагирование – мыслительная операция, состоящая в исключении из рассматриваемого объекта или явления несущественных на данный момент свойств и выделении других – существенных свойств. Конкретизация – операция, противоположная абстрагированию, при этом односторонне фиксируется какая-либо сторона объекта вне связи с другими.

Задание 1. Показать возможности использования наблюдения, опыта, сравнения, обобщения и абстрагирования при обучении математике в 5 и 6 классах.

1. При изучении темы «Сравнение дробей» (5 класс, учебник Н.Я.Виленкина «Математика»), используя набор «Доли и дроби», предлагаем учащимся решить следующие задачи:

1) Мама испекла пирог. пирога она предложила детям, а пирога – собравшимся гостям. Кому досталось большая часть пирога: гостям или детям?

2) Саша и Петя купили по одинаковой шоколадке. Саша съел своей шоколадки, а Петя - своей. Кто больше съел шоколада?

При решении первой задачи учащиеся делят круг (набор «Доли и дроби») на 4 части. Опытным путем они убеждаются, что две такие части составляют половину круга, делают вывод, что круга равны круга. Рассматривая другие, аналогичные примеры, анализируя и обобщая их, учащиеся подходят к выводу – формулируют основное свойство дроби.

При решении второй задачи и ее аналогов, ученики также опытным путем, используя рекомендуемый набор, убеждаются, что , и т.д. Обобщая полученные результаты, ребята делают вывод о том, что из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель и больше та, у которой больше числитель. После, отмечая на координатной прямой точки с указанными координатами, школьники замечают, что точка А( ) лежит левее точки В( ), и снова делают соответствующий вывод.

2. При изучении основного свойства пропорции (6 класс, учебник Н.Я.Виленкина «Математика») предлагаем учащимся найти частные и сравнить их: 3,6 : 1,2 и 6,3 : 2,1. Учащиеся выполняют вычисления и получают в обоих случаях частное равное 3, делают вывод, что можно записать 3,6 : 1,2 = 6,3 : 2,1. После этого учитель заостряет внимание учеников на том, что каждое частное можно записать в виде дроби и получить запись: . Далее учитель вводит термины: «пропорция», «крайние члены пропорции», «средние члены пропорции», и просит ребят найти в данной пропорции произведение крайних и произведение средних членов, сравнить эти произведения. Ученики опытным путем получают, что 3,6 ∙ 2,1 = 7,56 и 6,3 ∙ 1,2 = 7,56, и сравнивая, делают вывод: 3,6 ∙ 2,1 = 6,3 ∙ 1,2 , т.е. в данной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Рассматривая еще несколько пропорций с разными числами, выполняя подобные упражнения (варьируем здесь несущественные признаки), учащиеся обобщают результаты действий и приходят к выводу, что в любой верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Абстрагируясь от конкретных чисел, примеров, школьники приходят к общей записи, выражающей основное свойство пропорции: .

Отметим, что при обучении математике в 5-6 классах, практически каждая тема опирается на опыт, наблюдение и сравнение. При этом результаты, полученные опытным путем, рассматриваются как достоверные, принимаются без доказательства. При обучении математике в 7-11 классах роль этих методов познания не снижается, однако полученные на их основании выводы считаются лишь гипотезами, которые в дальнейшем требуют строгого доказательства.

Задание 2.Показать использование обобщения при обучении учащихся решению геометрических задач в 7-9 классах.

Обобщение задачи осуществляется путем такого обобщения данных и искомых задачи, при котором исходная задача становится частным случаем задачи-обобщения или ее элементом. Приведем пример реализации приема.

Исходная задача. Восстановить равнобедренный треугольник по основаниям трех его высот. Для перехода к обобщенной задаче используем один из приемов обобщения – переход от данного множества элементов (множества равнобедренных треугольников) к более широкому множеству (множеству произвольных треугольников).

Задача-обобщение. Восстановить треугольник по основаниям трех его высот.

Если первая из предложенных задач вполне по силам большинству семиклассников, то решение второй, гораздо более сложной задачи, целесообразно осуществить на кружковом занятии по математике, предварительно составив ее вместе со всеми учащимися.

При другом способе обобщения происходит расширение области изменения некоторого параметра, входящего в условие задачи.

Исходная задача. В прямоугольном треугольнике АВС (ÐС=90°) ÐСАВ=30°, АВ=8 см. Найти длину высоты, опущенной на гипотенузу.

Обобщенная задача. В прямоугольном треугольнике АВС (ÐС=90°) ÐСАВ=α, АВ=а. Найти длину высоты, опущенной на гипотенузу.

Приучать учащихся к таким небольшим исследованиям задачной ситуации, к составлению обобщенных задач – вполне посильно для учителя.

Задания, которые могут быть предложены ученикам для самостоятельного решения:

1) В треугольнике АВС ÐА=ÐС=70°. Внутри треугольника задана точка М, так, что ÐМАС=30°, а ÐМСА=50°. Найти угол ВМС. Обобщить задачу.

2) Внутри треугольника АВС с углами: ÐA=30° и ÐC=50° - выбрана точка М так, что ÐМСА=30°, а ÐМВС=2ÐМАС. Найти угол ВМС. Обобщить задачу.

3) Внутри треугольника АВС с углами: ÐA=22° и ÐC=30° - выбрана точка М так, что ÐМСА=ÐМАС=14°. Найти угол ВМС. Обобщить задачу.

Обратимся к методам индукции и дедукции. Индукция – это форма мышления, посредством которой мысль наводится на какое-либо общее правило, присущее всем элементам данного класса. Различают два вида индукции: неполную и полную. Дедукция в широком смысле слова - такая форма мышления, когда новая мысль выводится чисто логическим путем (т.е. по законам логики) из предшествующих мыслей. Такая последовательность мыслей называется выводом, а каждый компонент этого вывода является либо ранее доказанной мыслью, либо аксиомой, либо гипотезой. Последняя мысль данного вывода называется заключением. В узком смысле слова, дедукция – дедуктивное умозаключение, т. е. такое умозаключение, в результате которого получается новое знание о предмете или группе предметов на основании уже имеющегося некоторого знания об исследуемых предметах и применения к ним некоторого правила логики.

Индуктивный метод находит систематическое применение в 5-6 классах. Большинство обоснований в этих классах проводится именно таким методом. В старших классах роль индукции снижается. Она применяется лишь в целях обнаружения математических закономерностей, обоснование же их проводится дедуктивным методом. Следует иметь в виду, что выводы, сделанные по индукции, т.е. на основании определенного числа наблюдений, не исчерпывающих всех частных случаев, являются правдоподобными, но не достоверными.

Задание 3. Показать использование индукции и дедукции при обучении математике в 5-6 классах и обучении алгебре в 7-9 классах.

При рассмотрении переместительного закона умножения десятичных дробей в 5 классе, находим с учениками произведения чисел 7∙4,3 и 4,3∙7, 3,1∙2,5∙ и 2,5∙3,1, 0,01∙5,8 и 5,8∙0,01. Опытным путем убеждаемся, что во всех этих случаях соответствующие произведения равны 7∙4,3=4,3∙7, 3,1∙2,5=2,5∙3,1, 0,01∙5,8=5,8∙0,01. Обобщая эти случаи умножения, делаем по неполной индукции (ведь рассмотреть все такие случаи умножения невозможно) следующий вывод: для десятичных дробей a и b выполняется равенство a∙b=b∙a.

В 6 классе после введения понятия четных и нечетных чисел можно поставить перед учениками задачу: нахождения всех однозначных четных и всех однозначных нечетных чисел. Рассматриваются числа от 0 до 9 и анализируются: 0 делится на 2 без остатка, 1 делится на 2 с остатком, равным 1, 2 делится на 2 без остатка, 3 делится на 2 с остатком, равным 1, и т.д. Таким образом, по полной индукции (рассмотрение всех единичных случаев) получаем вывод: 1, 3, 5, 7, 9 – нечетные числа, 0, 2, 4, 6, 8 – четные числа.

Полученные и в 1 и во 2 случае выводы считаются достоверными и нигде в 5-6 классах не доказываются.

При изучении в 8 классе свойств арифметического квадратного корня, предлагаем ребятам найти значение выражения при х=5, и х=-5, при х=6, х=-6. Ученики получают: , и аналогично: и В каждом из рассмотренных примеров арифметический квадратный корень из квадрата числа был равен модулю этого числа. По неполной индукции учащиеся делают вывод: при любом значении х верно равенство Но вывод полученный таким образом – только гипотеза, мы не можем считать ее достоверной, основываясь лишь не нескольких примерах. Поэтому далее следует строгое доказательство этого свойства (теоремы).

Рассмотрим возможности составления школьниками дедуктивных умозаключений на материале учебников 6 и 8 классов.

6 класс. Общее суждение: если сумма цифр числа не делится на 3, то и само число не делится на 3. Частное суждение: сумма цифр числа 45389 не делится на 3. Новое частное суждение: число 45389 не делится на 3.

8 класс. Общее суждение: Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Частное суждение: - рациональное число. Вывод: - можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби, .

Разновидностью традуктивного умозаключения (от частного суждения к частному) в школе является аналогия. Аналогия есть сходство предметов в каких-либо свойствах, признаках или отношениях. Умозаключение по аналогии – это такое умозаключение, в результате которого делается вывод о том, что исследуемый предмет, возможно, имеет еще один признак N, поскольку остальные известные нам признаки этого предмета сходны с признаками другого предмета, обладающего еще и признаком N. Причем, в качестве предмета могут выступать объекты, явления, процессы.

Анализ деятельности применения аналогии в различных конкретных ситуациях позволил выделить следующие действия:

1)составлять аналоги различных заданных объектов и отношений;

2) находить соответственные элементы в заданных аналогичных предложениях;

3) составлять предложение, аналогичное данному;

4) составлять задачу, аналогичную заданной, т.е. задачу, имеющую с данной сходное условие или заключение;

5) проводить рассуждение при решении задачи по аналогии с решением сходной задачи.

Задание 4. Показать применение аналогии в обучении математике: 1) при определении понятий, 2) при обнаружении свойств объектов, 3) при решении задач или доказательстве теорем.

1. При изучении в 5 классе темы «Прямоугольный параллелепипед» следует обратить внимание учащихся на то, что фигурой сходной с прямоугольным параллелепипедом, является прямоугольник. Далее выясняются соответственные элементы этих фигур и отношения между ними: грань прямоугольного параллелепипеда (прямоугольник) соответственна стороне прямоугольника (отрезку), противоположные стороны прямоугольника равны – противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны (последнее устанавливается учащимися при рассмотрении модели прямоугольного параллелепипеда), у прямоугольника два измерения: длина и ширина, а у прямоугольного параллелепипеда три измерения: длина, ширина и высота. После этого можно сообщить учащимся, что такие фигуры будем считать аналогичными, и ввести термин «аналогия».

При изучении куба, применяя уже новую терминологию, учащимся можно задать вопросы:

1) Какая фигура аналогична кубу?

2) Какие элементы квадрата аналогичны граням куба? В чем их сходство? (Все грани куба – равные квадраты, все стороны квадрата – равные отрезки.)

3) Сколько измерений имеет квадрат? Куб? В чем их сходство?

При изучении темы «Площади» можно установить аналогию между единицами длины и единицами площади. Познакомив учащихся с единицами площади, можно задать вопросы:

1) Какие единицы длины, аналогичные единицам площади, вы знаете?

2) Какая единица площади аналогична сантиметру (метру и т.д.)? В чем сходство этих единиц?

При изучении темы «Объемы» полезно установить аналогию между единицами объема и единицами площади.

В старших классах при изучении пространственных фигур полезно устанавливать аналогию между плоскостными и объемными фигурами. Перед изучением в 11 классе понятия выпуклого многогранника, полезно с учащимися подумать и вспомнить, какая фигура на плоскости аналогична многограннику. Сначала повторяют определения выпуклого многоугольника и демонстрируют на моделях выпуклые и невыпуклые многоугольники. Затем заостряют внимание школьников на том, что многоугольник – это двумерный образ, и, следовательно, основными элементами будут являться вершины и стороны, а многогранник – трехмерный образ, поэтому его основные элементы: вершины, ребра, грани. Далее учитель просит учащихся попробовать по аналогии сформулировать определение выпуклого многогранника, продемонстрировать на моделях выпуклые и невыпуклые многогранники.

2. Широко пользуются аналогией при изучении в 11 классе различных свойств частных видов призм (параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба). При изучении свойств параллелепипеда вспоминают свойства его плоскостного аналога – параллелограмма: противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны, диагональ параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Ученики пробуют самостоятельно по аналогии сформулировать свойства параллелепипеда: противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны, диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Далее вспоминаем с учащимися свойства частного вида параллелограмма – прямоугольника: все свойства параллелограмма + диагонали прямоугольника равны, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений. По аналогии формулируем свойства прямоугольного параллелепипеда: все свойства параллелепипеда + диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Вспоминаем свойства, которыми обладает куб: все свойства прямоугольника + диагонали квадрата являются биссектрисами его углов. По аналогии формулируем свойства куба: все свойства прямоугольного параллелепипеда + диагональные плоскости куба являются биссекторными плоскостями его двугранных углов.

3. Аналогия не только способствует открытию свойств и признаков объектов, она является инструментом поиска способа решения задачи и доказательства теорем. Хорошим примером использования аналогии является вывод формул площади прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда. Результаты работы можно оформить в виде сравнительной таблицы 1.

Таблица 1

	Вывод формулы площади прямоугольника	Вывод формулы объема прямоугольного параллелепипеда
1.	Рассматриваем АВСD и АВ1С1D – 2 прямоугольника с общим основанием АD.	Рассматриваем Р и Р1 – 2 прямоугольных параллелепипеда с общим основанием АВСD и высотами АЕ и АЕ1.
	S и S1 – площади рассматриваемых прямоугольников.	V и V1 – объемы рассматриваемых прямоугольных параллелепипедов.
	Доказываем, что (*) (разбиение прямоугольника на n равных прямоугольников)	Доказываем, что (разбиение прямоугольного параллелепипеда на n равных параллелепипедов)
	Возьмем квадрат со стороной 1 и прямоугольники со сторонами 1 и а, а и b. Для них: и Отсюда: S=ab	Возьмем куб со стороной 1 и прямоугольные параллелепипеды Для них: , и Отсюда: V=abc

Из предложенной сравнительной таблицы 1 видно, что каждый шаг при выводе формулы объема прямоугольного параллелепипеда может быть получен из соответствующего шага при выводе формулы площади прямоугольника, путем замены объекта его аналогом.

Широкое применение при формировании понятий, доказательстве теорем и решении задач находят анализ и синтез. Анализ – логический прием, состоящий в том, что изучаемый предмет мысленно расчленяется на составные элементы, каждый из которых затем исследуется в отдельности. Синтез – мысленное соединение частей предмета, расчлененного в процессе анализа, установление взаимодействия и связей частей и познание этого предмета как единого целого. Синтез всегда связан с анализом. В нашем мышлении существует аналитико-синтетический метод, в котором анализ и синтез взаимно проникают друг в друга, сочетаясь в диалектическом единстве.

Особенно велика роль анализа при решении задач. Рассуждения можно вести по-разному: отправляясь от данных, устанавливая связи между ними, идти к искомым (синтетический путь) или, отправляясь от искомых, устанавливая связи между искомыми и данными, идти к данным (аналитический путь).

Существуют два вида анализа: совершенный (восходящий) и несовершенный (нисходящий). Рассмотрим их. Пусть Р – некоторое условие, Q – заключение, соотношение, которое требуется найти или доказать. При совершенном (восходящем) анализе стремятся найти такое соотношение (или систему соотношений) Р₁, которое является условием, достаточным для доказательства (вычисления) утверждения Q. Затем отыскивают предложение Р₂, которое является достаточным для выполнения Р₁ и т.д. Процесс продолжают до тех пор, пока не приходят к данному соотношению (условию) Р. Этот вид анализа является доказательным. Его можно изобразить следующей схемой: Q Ü Р₁ Ü Р₂ Ü…Ü Р.

Несовершенный анализ заключается в следующем: исходя из допущения, что доказываемое соотношение верно, выводят следствие, затем из полученного следствия выводят новое и так до тех пор, пока не приходят к утверждению, которое может быть исходным в цепи обратных рассуждений. Очевидно, что этим путем находят условие, необходимое для заключения доказываемого предложения. Поэтому нисходящий анализ не является доказательным. Суть того, что найденное верное соотношение является и достаточным условием, устанавливается соответствующим синтезом. То есть если окажется возможным провести рассуждения в обратном порядке, при котором условие теоремы (задачи) или очевидное предложение выступают отправной посылкой, то получим искомое доказательство (решение).

Задание 5.Проиллюстрировать использованиесовершенного и несовершенного видов анализа при поиске доказательства одного из признаков параллелограмма.

Рассмотрим организацию эвристической беседы с учащимися при поиске доказательства теоремы: «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник - параллелограмм» методом совершенного анализа.

Вопрос: Что достаточно доказать для доказательства того, что четырехугольник АВСD является параллелограммом?

Ответ: Для этого достаточно доказать, что ВС ççАD и АВ ççDС.

Вопрос: Что достаточно доказать для доказательства параллельности сторон четырехугольника?

Ответ: Для этого достаточно доказать равенство накрест лежащих углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей.

Вопрос: Какое дополнительное построение достаточно выполнить, чтобы получить такие накрест лежащие углы?

Ответ: Для этого достаточно провести диагональ АС. Получим углы ÐАСВ и ÐСАD; ÐВАС и ÐАСD.

Вопрос: Что достаточно доказать для доказательства равенства полученных углов?

Ответ: Для этого достаточно доказать равенство треугольников АВС и CDA.

Вопрос: Что достаточно доказать для доказательства равенства треугольников АВС и CDA.

Ответ: Для этого достаточно установить справедливость равенств: АD=ВС, АВ=DC, АС=АС, а эти равенства выполняются, поскольку АD=ВС, АВ=DC - по условию, а диагональ АС – по построению общая сторона треугольников АВС и CDA. Таким образом, доказательство теоремы найдено.

Несовершенный (нисходящий) анализ может быть проведен следующим образом:

Вопрос: Допустим, что утверждение «АВСD - параллелограмм» является верным. Что из этого следует?

Ответ: Из этого следует, что ВС ççАD и АВ ççDС.

Вопрос: Что следует из того, что ВС ççАD и АВ ççDС?

Ответ: Из этого следует, что ÐАСВ =ÐСАD; ÐВАС =ÐАСD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей).

Вопрос: Что следует из равенств ÐАСВ = ÐСАD; ÐВАС = ÐАСD?

Ответ: Из равенств этих углов с учетом того, что АС – общая сторона треугольников АВС и CDA, следует ∆АВС = ∆CDA.

Вопрос: Что следует из равенства ∆АВС = ∆CDA?

Ответ: Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: АD = ВС, АВ = DC, АС = АС. А эти равенства являются данными.

Нетрудно теперь эти рассуждения провести в обратном порядке. В итого получим синтетическое доказательство.

Отметим, что несовершенный анализ требует от учащихся значительной логической подготовки. Необходимо понимание недостаточности первой цепочки рассуждений и обязательность перехода к цепочке обратных рассуждений.