Руководство к выполнению заданий, направленных на раскрытие методики изучения алгоритмов и правил в школьном курсе математики

Успешное применение математических знаний (определённого правила, формулы, определения, теоремы и т. д.) на практике первоначально связано с усвоением некоторого алгоритма действий.

Например, для решения любого уравнения первой степени необходимо

1) известные слагаемые перенести в правую часть уравнения, меняя их знаки;

2) слагаемые, содержащие неизвестные, перенести в левую часть уравнения, меняя их знаки;

3) привести подобные члены;

4) обе части уравнения разделить на коэффициент при неизвестном, если он отличен от нуля;

5) если первый коэффициент равен нулю, и правая часть также равна нулю, то уравнение имеет бесконечное множество решений;

6) если первый коэффициент равен нулю, а правая часть не равна нулю, то уравнение не имеет решений.

Приведённое правило является алгоритмом решения уравнения первой степени. Правила сравнения чисел, действий над числами в различных числовых множествах, решения линейных, квадратных, дробно-рациональных уравнений, неравенств и многие другие могут быть сформулированы в виде алгоритмов.

Значительное число различных правил в школьных учебни­ках математики в последнее время сообщается учащимся в форме алгоритма с выделенной последовательностью шагов. Исполь­зование правила в этом случае представляет собой меньшую труд­ность для учащихся, чем использование правила при отсутствии выделенных шагов или если какие-то операции – шаги, действия в предписании пропущены, только подразумеваются и должны быть восполнены учащимися самостоятельно.

Рассмотрим правило сложения чисел с разными знаками в сле­дующей форме: чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля вычесть меньший; 2) поставить перед полу­ченным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Это правило требует от школьника доработки, т. к. в нем не обозначены шаги: найти модуль каждого числа; сравнить моду­ли и выделить число с большим модулем; определить знак числа, имеющего больший модуль. Эти шаги отдельными учащимися легко выполняются, а для других их выделение представляет су­щественные трудности.

На содержательно-интуитивном уровне алгоритм можно описать как понятное предписание, указывающее, какие операции, и в какой последовательности необходимо выполнить, чтобы решить любую задачу данного типа.

Правила также используются для описания общего метода решения класса однотипных задач. Однако правило представляет собой «свёрнутый алгоритм». Отдельные его шаги являются целыми системами операций. Всякий алгоритм можно назвать правилом, но не всякое правило является алгоритмом.

Для того чтобы определить будет некоторое правило алгоритмом или нет, необходимо проверить наличие ряда характеристических свойств последнего. К таким свойствам относятся массовость (возможность решить все задачи определённого типа), элементарность и дискретность шагов (отдельность и законченность шагов), детерминированность (однозначное определение первого шага и каждого последующего), результативность (конечное число шагов всегда должно привести к определённому результату). В правилах наиболее часто отсутствует детерминированность шагов.

Рассмотрим пример правила деления десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001из [].

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, надо перенести запятую в ней вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей.

Это правило обладает свойствами массовости и результативности. Применяя это правило, мы можем умножать любые десятичные дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и всегда получим результат. Нужно только иметь в виду, что последняя операция выполняется только тогда, когда количество цифр после запятой больше числа нулей перед единицей.

В правиле отсутствуют дискретные шаги, следовательно, оно не обладает элементарностью, дискретностью и детерминированностью шагов, и не является алгоритмом.

Сформулируем данное правило в виде алгоритма.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, надо:

1. подсчитать количество цифр после запятой в делимом (п) и число нулей перед единицей в делителе (р);

2. сравнить п и р;

3. если количество цифр после запятой в делимом (п) больше числа нулей перед единицей в делителе (р) (т.е. п>р), то выполнить пункт 4;

4. если количество цифр после запятой в делимом меньше числа нулей перед единицей в делителе (т.е. п<р), то приписать справа к делимому р-п нулей;

5. перенести запятую вправо в делимом на столько цифр, сколько нулей в делителе (р) и записать ответ.

Этот же алгоритм можно записать в виде схемы.

Работа с учащимися по овладению алгоритмом обычно включает в себя три основных этапа: 1) введение алгоритма; 2) усвоение алгоритма; 3) применение алгоритма.

Целью первого этапа является актуализация знаний, необходимых для введения и обоснования алгоритма, а также формулирование алгоритма; целью второго этапа – отработка операций, входящих в алгоритм, и усвоение их последовательности; целью третьего этапа – отработка алгоритма в знакомых (при варьировании исходных данных) и незнакомых ситуациях.

Основным средством, используемым на различных этапах формирования алгоритма, является система упражнений. Содержание её определяется на основе логико-математического анализа конкретного алгоритма.

Логический анализ алгоритмов (правил) предполагает проверку наличия у данного правила характеристических свойств алгоритма; выделение последовательности операций и логических условий в данном правиле.

Математический анализ алгоритмов и правил состоит в установлении их математической основы, т.е. тех базовых математических положений, которые позволяют построить именно такое правило (алгоритм).

В нашем примере проверку наличия у данного правила характеристических свойств алгоритма, выделение последовательности операций и логических условий в данном правиле мы осуществили выше. В плане математического анализа нам осталось установить связи алгоритма с другими знаниями и математическую основу: правилом деления десятичных дробей, позиционный принцип записи натуральных чисел и десятичных дробей (приписывание нулей справа к десятичной дроби не изменяет число).

Приведём примеры упражнений для каждого этапа формирования указанного алгоритма.

Упражнения для первого этапа

1. Вычислите устно.

Объясните, каким правилом вы пользовались?

2. Запишите короче дроби: 2,5000; 3,02000; 20,010.

Напишите десятичную дробь

a) с четырьмя знаками после запятой, равную 0,87;

b) с пятью знаками после запятой, равную 0,541;

c) с тремя знаками после запятой, равную 35;

Каким правилом вы пользовались?

3. Выполните умножение

4. Выполните деление.

В какую сторону и на сколько цифр переносится запятая в делимом при делении на 0,1; 0,01; 0,001? Попробуйте сформулировать правило умножения десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001?

Упражнения для второго этапа

1. На сколько знаков и в какую сторону надо переносить запятую в первом, втором и третьем столбцах? Вычислите.

Упражнения для третьего этапа

1.Найдите значение выражения:

a) 35,27 : а, если а = 0,1; а = 0,01; а = 0,001;

b) т: 0,1, если т = 8,2; т = 37,5; т = 185,63.

2. На сколько килограммов масса 1м³ пробки меньше массы 1м³ воды, если масса 1см³ воды равна 1г, а масса 1см³ пробки равна 0,22г?

3. Вычислите устно

4. Решите уравнение:

5.Найдите значение выражения:

a) 100 · 0,815 + 0,84 : 0,1

b) 7,1 : 0,001 – 6,03 : 3

c) 4,3 · 0,01 + 370: 0,01

Алгоритмы и правила имеют общее функциональное назначение – формирование общих методов решения класса однотипных задач. Однако их методическое назначение может быть различно. Алгоритм целесообразно использовать на первоначальных этапах формирования действия, так как он даёт подробное описание последовательности операций. Правило удобно применять тогда, когда в основном умение выполнять действие уже сформировано и ученику не нужно подробное описание операций.