Руководство к выполнению заданий, направленных на раскрытие методики изучения теорем в школьном курсе математики

При изучении теорем, как и при изучении понятий, используются 2 подхода: догматический и генетический. В первом случае учитель сам формулирует изучаемую теорему, а затем проводится работа по уточнению смысла данной теоремы, ее условия и заключения, построению чертежа и т.д. При генетическом подходе теорема в готовом виде не сообщается, проводится специальная работа по «подведению» учащихся к теореме, обнаружению соответствующей закономерности. При таком подходе к изучению теорем можно выделить следующие этапы:

1) мотивация, показ целесообразности изучения данной теоремы.

2) раскрытие содержания теоремы.

3) формулировка теоремы, выделения условия и заключения.

4) поиск пути доказательства, оформление доказательства.

5) усвоение теоремы, закрепление формулировки и доказательства.

6) применение теоремы в стандартных и нестандартных ситуациях.

При выборе похода к изучению следует учитывать не только временные затраты, но и получаемые результаты обучения. Необходимо иметь в виду, что применение генетического подхода часто не требует (или почти не требует) дополнительных затрат времени. Например, учитель нарисовал на доске параллелограмм, провел его диагонали и ставит перед учащимися вопрос: «Как делятся диагонали точкой их пересечения?» Ответ на этот вопрос приводит к формулировке соответствующей теоремы.

Задание 1. Показать методику работы с теоремой из курса геометрии 7 класса.

В теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» (учебник Л.С. Атанасяна «Геометрия 7-9») 7 класса содержится много теорем. Одной из первых доказывается теорема о внешнем угле треугольника. Эта теорема является простой, в ее доказательстве используется мало следствий. Поэтому при изучении данной теоремы целесообразно применять генетический поход.

Прежде всего, изучение теоремы необходимо промотивировать. Учитель должен сообщить учащимся, что на данном уроке будет открыто одно важное свойство внешнего угла треугольника, которое очень поможет в дальнейшем при решении различных задач и доказательстве теорем.

Рассмотрим различные приемы работы по раскрытию содержания предложенной теоремы.

После введения понятия внешнего угла треугольника ученикам можно предложить следующую лабораторную работу по вариантам:

1. Начертите в тетрадях треугольник:

1 вариант – остроугольный;

2 вариант – прямоугольный;

3 вариант – тупоугольный.

2. Постройте смежный угол к

1 вариант – острому углу треугольника;

2 вариант – прямому углу треугольника;

3 вариант – тупому углу треугольника.

3. Измерьте градусную меру внешнего угла и двух внутренних углов треугольника, несмежных с ним.

4. Сравните величины внешнего угла и суммы двух внутренних углов треугольника, несмежных с ним.

5. Сделайте соответствующий вывод.

Другой прием, используемый для раскрытия содержания теоремы, – решение задач на вычисление. Например, перед изучением рассматриваемой теоремы ученикам можно предложить следующую задачу:

Дан ∆MNP (см. рис. 7). Внешний угол этого треугольника ÐKMN=120º. Найти сумму внутренних углов треугольника ÐN и ÐР.

Решая такую задачу, ученики найдут величину угла ÐPMN (как смежного с ÐNMK), а далее, используя теорему о сумме внутренних углов треугольника, сумму углов ÐN и ÐР. И окажется, что эта сумма равна 120º (величине данного ÐKMN). Что это: совпадение или закономерность?

Отметим, что рассматриваемый прием очень полезен, поскольку не только подводит учащихся к высказыванию гипотезы, но и дает, фактически, способ доказательства теоремы.

С теоремой о внешнем угле треугольника учащиеся могут ознакомиться, используя модель треугольника из бумаги (отрывая и прикладывая углы, см. рис.)

Так у ребят возникает гипотеза о том, что внешний угол любого треугольника равен сумме двух внутренних углов этого треугольника, несмежных с ним.

После раскрытия содержания теоремы учащиеся с помощью учителя формулируют ее, делают соответствующий рисунок. Затем следует символическая запись теоремы на основании введенных обозначений на рисунке.

Дано: ∆АВС, Ð1, Ð2, Ð3 –углы ∆АВС, Ð4-внешний угол DАВС.

Доказать: Ð4=Ð1+Ð2.

Перед тем как перейти к доказательству, учитель может провести первичное закрепление формулировки теоремы, предложив повторить формулировку, выделить структуру теоремы (условие, заключение), пояснить содержание теоремы по рисунку, выяснить, нет ли других вариантов построения рисунка, соответствующего условию теоремы.

На следующем этапе осуществляется поиск пути доказательства теоремы, который может осуществляться синтетическим или аналитическим путем (иногда применяют аналитико-синтетический путь).

Рассмотрим синтетический путь поиска доказательства изучаемой теоремы. Работу при этом можно организовать в виде эвристической беседы с учащимися: учитель задает вопросы – школьники отвечают, переходя от следствия к следствию, постепенно двигаясь от условия теоремы к ее заключению.

Учитель: Что следует из того, что Ð4-внешний угол DАВС?

Ученик: Ð4-смежный с Ð3 (по рис.).

Учитель: Что следует из того, что Ð4-смежный с Ð3?

Ученик: Ð3+Ð4=180°.

Учитель: Что вы знаете об углах треугольника? Что следует из того, что Ð1, Ð2, Ð3 –углы треугольника АВС.

Ученик: Ð1+Ð2+Ð3=180°.

Учитель: Сравните сумму углов Ð3 и Ð4 и сумму углов Ð1,Ð2 и Ð3.

Ученик: Эти суммы равны. Ð3+Ð4=Ð1+Ð2+Ð3.

Учитель: Вспомните, получится ли верное равенство, если от обеих частей данного верного равенства отнять одно и то же число?

Ученик: Да. Если от обеих частей верного числового равенства отнять одно и то же число, получится верное равенство.

Учитель: Какое равенство может следовать из Ð3+Ð4=Ð1+Ð2+Ð3.

Ученик: Ð4=Ð1+Ð2.

Осуществление поиска доказательства теоремы на основе восходящего анализа также может происходить в виде эвристической беседы, но при этом постепенно двигаться необходимо от заключения к условию. Главным вопросом учителя в этом случае будет: «Что достаточно доказать (знать, найти), чтобы доказать …?»

После нахождения пути доказательства, его необходимо правильно оформить (на доске и в тетрадях учеников). Оформление доказательства всегда осуществляется в соответствии с синтетическим путем. При этом возможны следующие основные способы оформления: 1) простое доказательство – по пунктам, с указанием в скобках всех утверждений, используемых в доказательстве; 2) в виде таблицы с двумя параллельными колонками: «утверждение» и «обоснование»; 3) в виде граф-схемы.

Приведем пример оформления доказательства рассматриваемой теоремы в виде таблицы 2:

Таблица 2

По ходу изложения доказательства можно составить и его граф- схему:

На закрепление формулировки теоремы школьникам можно предложить следующие задания:

1. Найти ошибки в формулировках теоремы. Исправить их.

a) внешний угол равен сумме внутренних углов треугольника, несмежных с ним.

б) угол треугольника равен сумме внутренних углов этого треугольника, несмежных с ним.

в) внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов этого треугольника.

2. Вставить пропущенные слова в формулировке теоремы:

a) внешний угол … равен сумме двух внутренних углов этого треугольника, несмежных с ним.

б) внешний … треугольника равен … внутренних углов…, несмежных с ним.

в) внешний угол любого треугольника равен сумме … углов этого треугольника, ...

Рассмотрим серию упражнений на закрепление доказательства теоремы (они могут предлагаться ученикам и сразу после доказательства, и в виде домашнего задания):

1.Выделите план (идею) доказательства теоремы.

(1. Найти сумму смежных углов

2. Найти сумму углов треугольника.

3. Сравнить суммы и сделать вывод.)

2. Сформулируйте определения всехпонятий, которые используются в доказательстве. Перечислите все свойства и теоремы, используемые в доказательстве.

(Понятия: треугольник, внутренний угол треугольника, внешний угол треугольника, смежные углы. Свойства: теорема о сумме внутренних углов треугольника, свойство смежных углов, свойство числовых равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить или отнять одно и то же число, то получим верное равенство).

3.Доказать, что ÐLКЕ=ÐКЕF+ÐКFЕ по рисунку 10.

4. Заполните пропуски в доказательстве теоремы о внешнем угле треугольника, оформленном в виде таблицы 3.

Таблица 3

5. Работа по развертыванию доказательства. Обычно в процессе доказательства многие логические переходы осуществляются сокращенно. В результате реальное (школьное) математическое доказательство представляет собой свернутое, краткое рассуждение, в котором пропущены шаги, какие-то посылки не сформулированы явно, а лишь подразумеваются, не уточняются правила, по которым делаются логические переходы. Доказательства, приводимые в школьном курсе математики, компактны, кратки, многие их детали не видны. Но ученики должны понимать, что при желании все эти неявные посылки всегда можно восстановить. Логически развернутое доказательство – доказательство, представленное в виде конечной последовательности предложений с обоснованием участия каждого предложения.

Задание для школьников. Прочитайте доказательство теоремы о внешнем угле треугольника по учебнику Л.С. Атанасяна. Выявите пропущенные взаимосвязи между предложениями в этом доказательстве, восстановите пропущенные, но подразумеваемые утверждения (посылки).

Восстановление доказательства: Более подробный вариант таков: «По условию АВС (рис. 9) – треугольник, следовательно, Ð1, Ð2, Ð3 –углы треугольника АВС. Известно, что сумма углов треугольника равна 180°, Ð1, Ð2, Ð3 –углы треугольника АВС(пропущенная малая посылка - ПМП), следовательно, .Ð1+Ð2+Ð3=180°. Внешний угол треугольника – угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника (пропущенная большая посылка - ПБП), Ð4-внешний угол DАВС (ПМП), следовательно, Ð4-смежный с Ð3 (по рис. 23). Сумма смежных углов равна 180° (ПБП), Ð4 и Ð3 – смежные, следовательно, .Ð3+Ð4=180°. Из курса алгебры известно, что если от обеих частей равенства отнять одно и то же число, то получим верное равенство (ПБП); следовательно, отнимая от обеих частей равенства Ð3+Ð4=180° значение градусной меры Ð3, получим равенство .Ð4=180°-Ð3. И отнимая от обеих частей равенства Ð1+Ð2+Ð3=180° значение градусной меры Ð3, получим равенство Ð1+Ð2=180°-Ð3, и, следовательно, 180°-Ð3=Ð1+Ð2. Известно, что если а=в и в=с, то а=с(ПБП); имеем: Ð4=180°-Ð3, 180°- Ð3=Ð1+Ð2 (ПМП); следовательно, Ð4=Ð1+Ð2. Теорема доказана».

Анализ доказательства рассматриваемой теоремы показывает, что оно имеет структуру, разобраться в которой ученику, только приступившему к изучению систематического курса геометрии, непросто. Поэтому на первых порах ученики выполняют подобные упражнения при помощи учителя, поскольку еще затрудняются при выявлении отдельных шагов доказательства и связей между ними, при обосновании утверждений.

Заключительный этап при изучении теоремы – применение ее к решению задач в стандартных и нестандартных ситуациях.

Задание 2. Разработать серию упражнений на усвоение и применение теоремы Пифагора.

Упражнения на усвоение формулировки теоремы:

1. Сформулируйте теорему Пифагора на языке «Если… , то… ».

2. Сформулируйте теорему, обратную к теореме Пифагора.

3. Вставьте пропущенные слова в формулировках теоремы: «… квадрат гипотенузы равен сумме … катетов», «В … треугольнике … равен ... квадратов… », «В прямоугольном треугольнике квадрат … равен сумме …».

4. Найдите ошибочные формулировки Пифагора и исправьте их:

«В треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов», «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме катетов», «Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов», «В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов».

Упражнения на усвоение доказательства теоремы:

Какие понятия, свойства, теоремы, используются в доказательстве теоремы?

6. Рассмотрите доказательство теоремы Пифагора векторным методом (по рисунку 12). Заполните пропуски.

Доказательство: Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: . Отсюда Возводя обе части в квадрат, получим ………… Так как перпендикулярно , то …, откуда . И значит: …..

Теорема доказана.

7. Ознакомьтесь с доказательством теоремы Пифагора индийского математика Басхары по рисунку 13:

c²=4ab/2+(a-b)² , c=2ab+a²-2ab+b², c²=a²+b².

В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!". Поясните доказательство Басхары.

Упражнения на узнавание и применение теоремы (значительная часть таких упражнений может быть приведена по готовым чертежам).

8. Найдите по рисункам 14 и 15 неизвестные элементы.

10. Дано: ∆ ABC, ÐA = 60º, AB = 36. Найти: СВ.

11. Дано: AKMN – ромб. Диагонали АМ = 10 см, KN = 24 см. Найти: АК.

12. Применяя теорему Пифагора, дополните утверждения так, чтобы они стали верными:

1) Квадрат диагонали квадрата со стороной а равен …

2) Квадрат диагонали прямоугольника со сторонами а и b равен ….

3) Квадрат высоты равностороннего треугольника со стороной а равен …

При закреплении теорем упражнения должны способствовать анализу формулировки и ее усвоению, запоминанию, узнаванию, уяснению области применения теоремы, получению следствий из теорем, установлению взаимосвязей с различными теоремами.