Руководство к выполнению заданий, направленных на раскрытие методики формирования понятий в школьном курсе математики

Понятие – это форма мышления, в которой отражены существенные свойства объектов изучения и отношения между ними. Иметь понятие о некотором объекте, явлении означает понимать сущность этого объекта, явления. С каждым понятием связывают: а) объекты и б) существенные свойства этих объектов.

Множество всех объектов, относящихся к рассматриваемому понятию, составляет объем понятия, множество всех существенных свойств – его содержание. Между объемом и содержанием понятия устанавливается следующая связь: если увеличить содержание понятия, то уменьшается его объем и наоборот.

Признак понятия называется существенным, если он присущ всем объектам данного понятия. Например, равенство противоположных сторон параллелограмма – его существенный признак; наличие разрядов (позиционность записи числа), 10 единиц в каждом разряде, отделение целой части от дробной с помощью запятой – существенные признаки десятичной дроби. Признак называется несущественным, если он присущ только некоторым объектам данного понятия. Например, величина угла параллелограмма, перпендикулярность диагоналей параллелограмма – его несущественные признаки; количество цифр в целой или дробной части десятичной дроби, равенство целой части нулю, число единиц в том или ином разряде – несущественные признаки десятичной дроби. Несущественные признаки позволяют отличать один объект из объема данного понятия от другого объекта.

Из всех существенных свойств выделяется минимальное число необходимых и достаточных признаков понятия, на основе которых строится определение понятия. Способы определения понятий различны.

Задание 1.Проанализировать понятийный аппарат темы «Треугольники» 7 класса, раскрыв понятие как форму мышления.

Перечислим понятия, изучаемые в главе 7 класса «Треугольники»: треугольник, вершины треугольника, стороны треугольника, углы треугольника, периметр треугольника, медиана, биссектриса и высота треугольника, равнобедренный треугольник, боковые стороны, основание равнобедренного треугольника, равносторонний треугольник.

Объемом понятия «треугольник» является множество всевозможных треугольников, содержанием – наличие трех сторон, трех вершин, трех углов. Увеличим содержание понятия: добавим еще одно существенное свойство – равенство двух сторон. Очевидно, что объем понятия при этом сузится до множества равнобедренных треугольников (уже не всевозможные треугольники)

Отметим, что среди определений понятий рассматриваемой темы преобладают генетические, то есть определения, в которых указывается способ построения объекта. (Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны). Однако в этой теме встречаются и способ определения понятия через ближайший род и видовые отличия. Например, «равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все стороны равны». Родовое понятие здесь – треугольник, видовое отличие – равенство всех сторон.

Задание 2.Проварьировать существенные и несущественные признаки понятия «квадратное уравнение».

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax²+bx+c=0, где x – переменная, a, b, c – числа, причем a≠0. Существенными признаками понятия «квадратное уравнение» являются: 1) равенство; 2) вид - ax²+bx+c=0, 3) значение старшего коэффициента а отлично от нуля. Несущественные признаки – значения коэффициентов b и с, обозначение переменной различными латинскими буквами.

Предположим, что учащиеся только что познакомились с понятием. При обучении действиям подведения под понятие, выведения следствий, конструирования объектов, входящих в объем понятия, полезно школьникам предложить такие упражнения.

1. Выделите из предложенной группы квадратные уравнения. Объясните, почему эти уравнения будут являться квадратными: -x²+6x+1,4=0, 3z²+4z-5>0, 8x²-7x=0, y²- =0, 13a²-6a³+1,4=0, -m²+2m+1=0, 23x²+ -9=0, 3x+6=0, 5t²+4t+3, 25x²+9a+3=0, 3z-2+5z²=0, 6y²-5=0, 3х²-2+5х=0.

2. Определите коэффициенты а, b, и с в каждом уравнении.

3. Почему уравнение 13y²+6y⁴+4=0 не является квадратным?

4. Составьте квадратные уравнения с коэффициентами -9, 8, -5 и , -6, 0.

5. Дополните записи уравнений до квадратных: -2+3,6х=0, 4z-5=0.

6. Приведите свои примеры а) различных квадратных уравнений; б) уравнений, не являющихся квадратными.

Варьирование существенных и несущественных свойств широко применяют и на этапе введения понятия.

С объемом понятия связана его классификация. Часто классификация проводится в виде последовательного разбиения множества на классы с помощью некоторого свойства. При этом предполагается выполнение ряда условий: 1) классификация проводится по определенному признаку, неизменному в процессе классификации; 2) понятия, получившиеся в результате классификации должны быть взаимно независимыми; 3) сумма объектов понятий, получившихся при классификации, должна равняться объему исходного понятия; 4) каждый класс не должен быть пустым.

Задание 3.Провести классификацию понятия «многогранник» по нескольким основаниям.

В качестве основания классификации возьмем следующий признак – расположенность многогранника относительно плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности.

Получим:

Если в качестве основания принять выполнение такого свойства: все грани многогранника – правильные равные многоугольники и в каждой вершине многогранника сходится равное число ребер, то получим следующее:

Методика формирования математических понятий включает следующие этапы: 1) введение определения; 2) усвоение определения; 3) закрепление понятия.

Введение определения может осуществляться двумя методами: конкретно-индуктивным (на основе рассмотрения конкретных примеров или задач приходят к новому понятию и его определению) или абстрактно-дедуктивным (определение понятия формулируется сразу после объявления нового термина). При том и другом методах содержанием обучения является выделение существенных признаков и отделение их от несущественных. Конкретно-индуктивный метод требует большего учебного времени при своем использовании на уроке, но обеспечивает большую активность учащихся и обратную связь, на основании которой учитель делает выводы об эффективности работы по изучению понятий. Изучение понятия необходимо мотивировать и пояснить происхождение термина. Сущность мотивации заключается в подчеркивании важности изучения понятия, в побуждении школьников к целенаправленной и активной деятельности, в возбуждении у них интереса к изучению понятий.

При конкретно-индуктивном введении понятия следует соблюдать два требования: 1) пример, на основе которого вводится понятие, должен носить общий, а не частный характер; 2) обсуждение основных признаков понятия на конкретном примере следует вести в той терминологии, которая используется в определении.

На этапе усвоения определения преследуются две цели: запомнить определение и научиться проверять, подходит объект под рассматриваемое понятие или нет. Этот этап осуществляется на специально составленных упражнениях. Одним из типов таких упражнений является распознавание объектов, принадлежащих понятию (часто такие формулируются, начиная со слов “Является ли...”). Аргументируя свой ответ, ученики осваивают признаки понятия и запоминают определение. При составлении таких упражнений, учитель варьирует несущественные признаки (включает частные случаи, изменяет размеры, расположение фигур), а также отвергает один или несколько существенных признаков. Этап усвоения требует подведения итогов, где повторяется определение понятия, его существенные признаки, а также некоторые несущественные признаки.

На этапе закрепления понятия решаются более сложные задачи, где используются как определение понятия, так и его свойства. Применению всякого понятия на практике при решении задач предшествует узнавание его в некоторой конкретной ситуации, где оно может быть представлено в более или менее скрытой форме. За этим при решении задач следуют обоснование узнавания (подведение под понятие) и выведение следствий (использование понятия). В методике преподавания математики принято в качестве первых упражнений на закрепление вновь вводимых понятий предлагать упражнения на узнавание объектов с дальнейшим подведением под определение. В процессе закрепления, как и на предыдущих этапах, регулярно подводятся итоги, где обсуждается, что нового узнали о понятии, что научились делать в связи с рассматриваемым понятием, какие виды задач научились решать.

Задание 4.Описать методику работы над понятием коллинеарных векторов (на плоскости), обосновав при этом выбор пути введения данного понятия.

Изучению понятия на уроке должна предшествовать работа учителя по анализу определения, по выделению существенных и несущественных признаков понятия, по подбору примеров и контрпримеров для закрепления. Проанализируем определение рассматриваемого понятия.

Определение коллинеарных векторов содержит 3 существенных признака: тот факт, что рассматриваемые векторы не являются нулевыми; принадлежность этих векторов одной прямой; и принадлежность этих векторов параллельным прямым. Второй и третий признаки соединены дизъюнктивно. С первым признаком (векторы ненулевые) второй и третий признаки связаны конъюнктивно. Объект подпадает под понятие, если имеет место первый признак и хотя бы один из других двух признаков. Это значит, что на это понятие можно контрпримеры: когда отсутствует первый или одновременно второй и третий существенные признаки или все признаки сразу. Выясним, какими несущественными признаками обладает это понятие, т.е. какие признаки допускают вариации. Это длины и направления векторов, произвольность расположения пары векторов на плоскости. Хорошими задачными ситуациями для закрепления понятия коллинеарных векторов являются ситуации, когда рассматриваются векторы, взятые на сторонах и других элементах в треугольниках, в разных видах четырехугольников.

Поскольку вводимое понятие коллинеарных векторов является достаточно простым для учащихся, целесообразно предпочесть конкретно-индуктивный метод введения понятия, активно привлекая при этом учащихся к формулированию определения, организуя работу по распознаванию этих векторов в различных ситуациях, по исправлению ошибочных определений. Рассмотрим фрагмент урока по введению понятия коллинеарных векторов.

Учитель: -На этом уроке мы с вами продолжим знакомство с векторами. Выполним устно следующее задание.

Посмотрите на рисунки, изображенные на доске (рис. 4) и ответьте на вопросы:

- Какие фигуры изображены на рисунках (векторы)?

-На каких рисунках изображены векторы ( и ), лежащие на параллельных прямых? (на рисунках а), б), и е)).

-Назовите рисунки, на которых векторы и лежат на одной прямой (рисунок г)).

-На каких рисунках изображены ненулевые векторы и , которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой? (рисунки б), г) и е)).

Учитель: -Векторы, изображенные на рисунках б), г) и е), называют коллинеарными. Попробуйте дать определение коллинеарных векторов.

Ответы учеников корректирует учитель:

-Итак, подведем итог. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Далее для закрепления выделенных существенных признаков учитель предлагает задания:

1. Обоснуйте, почему векторы на рисунках а), в) и д) не являются коллинеарными.

2. Чем отличаются пары коллинеарных векторов на рисунках б) и е)?

3. Чем могут отличаться друг о друга различные пары коллинеарных векторов?

После этого учитель предлагает учащимся задания на распознавание, конструирование коллинеарных векторов.

1. Проведите прямую а. Отметьте на ней точки А, О, В так, чтобы точка О принадлежала отрезку АВ. Проведите полупрямую ОК. Будут ли коллинеарными векторы и , и , и ? Почему?

2. Изобразите в тетрадях ненулевой вектор . Постройте вектор, коллинеарный к . Какие действия вы будете выполнять при этом?

3. Будут ли коллинеарными векторы и , и , если ÐСОD=ÐАОВ и СО=ОА (рис. 5)? Ответ обоснуйте.

5. Векторы и не коллинеарны. Что следует из этого?

6. Известно, что длина вектора в 5 раз больше длины вектора . Будут ли эти векторы коллинеарными? Если нет, то измените условие так, чтобы из него вытекало, что данные углы смежные.

Дальнейшее усвоение понятия «коллинеарные векторы» проходит на этапе применения понятия.

7. Векторы и коллинеарные. Угол BAD равен 50°. Найдите угол ВАС. Сколько решений имеет задача?

8. АВСD – четырехугольник, векторы и коллинеарны, Определите вид четырехугольника.