Гелий неэлектропроводен. 7 страница

•Одной из форм П. является нераз­решимая П.: ее «решением» высту­пает доказательство ее неразрешимости. Напр., разрешения П. для логики пре­дикатов первого порядка неразрешима: не существует эффективной процедуры, которая позволяла бы для всякой фор-

мулы определить, является она теоремой или нет. Доказательство этого факта, данное в 1936 г. амер. логиком А. Чёр­чем (р. 1903), дало первый пример не­разрешимой П.

ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ СВЯЗ­КА — операция, позволяющая из дан­ных суждений (высказываний) строить новые суждения (высказывания). В логике высказываний высказывания (формулы) рассматриваются лишь с точки зрения их истинности или лож­ности. Если А и В — к.-л. формулы (простые, элементарные или сложные, построенные из элементарных), то из них с помощью П.с. могут строиться новые формулы: А&В, А\/В, А—► В, А = В, если А — формула, то ~А — также фор­мула. Символы «&», «V»» «—►

« = », «~» выражают П.с., которые опре­деляются на семантическом, содержа- тельно-алгоритмическом уровне при по­мощи таблиц истинности. Эти П.с. со­ответственно называются: конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквивален- цией, отрицанием. Смысл П.с. в русском языке передается при помощи следующих выражений:

конъюнкция — с помощью союзов «и», «а», «но», «хотя» и др.;

дизъюнкция (нестрогая) — с помо­щью выражений: «или», «или, или оба»;

импликация — с помощью выраже­ний «если... то», «влечет», «следует» (ср.: «Если А, то Б», «А влечет В», «Из А следует В»);

эквиваленция — с помощью выра­жений «эквивалентно», «равносильно», «тогда и только тогда», «если и только если»;

отрицание — с помощью выражений «не», «неверно, что».

ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ФУНК­ЦИЯ — функция, область значений которой составляют высказывания, об­ладающие определенным истинностным значением. По своей структуре П.ф. сходна с грамматическим предложе­нием, но отличается от последнего на­личием переменных, которые пробегают какое-то множество объектов; П.ф. ста­вит в соответствие этим объектам вы­сказывания.

Примером П.ф. может служить вы­ражение «х есть простое число». Имея форму грамматического предложения, оно не является высказыванием: о нем нельзя сказать, что оно истинно или ложно, его нельзя доказать или опро­вергнуть. Из этого выражения в резуль­тате замены переменной х некоторым числом получается высказывание. Если вместо переменной подставить число 11, получится истинное высказывание, если

8— ложное. Несколько более сложным выражением, содержащим переменные и превращающимся при замене этих пере­менных постоянными в высказывание, яв­ляется формула х-\-у—[0.

Роль переменных в П.ф. можно срав­нить с ролью пробелов, оставляемых в опросном бланке: такой бланк приобре­тает определенное содержание только после заполнения пробелов. Точно так же П.ф. превращается в высказыва­ние лишь после того, как переменные заменены в ней постоянными.

В обычном языке переменные не встречаются, но есть конструкции, напо­минающие их, напр, «кто-то» и «какой- то» служат именами неопределенных лю­дей. Из выражения «Кто-то первым до­стиг Южного полюса» получается истин­ное высказывание, если подставить имя «Амундсен», и ложное при подстановке имени «Скотт». Употребление перемен­ных не столь существенно отличается, таким образом, от некоторых конструк­ций обычного языка.

Из П.ф. высказывание может быть получено не только путем замены пере­менных постоянными, но и с помощью кванторов. Так, из выражения «х есть отец у», используя кванторы «все» и «не­который» («существует»), можно полу­чить истинное высказывание «Для вся­кого у существует такой х, что х есть отец у» («Всякий человек имеет отца») или ложное высказывание «Существует х, являющийся отцом всякого у» («Есть человек, являющийся отцом каждого»).

Термин «П.ф.» введен в логику анг­лийским философом и логиком Б. Рас­селом (1872—1970).

ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ ЛОГИ­ЧЕСКАЯ — вид отношения между про­тивоположными понятиями или сужде­ниями в традиционной логике. В отно­шении противоположности находятся такие несовместимые понятия, объемы которых включаются в объем более ши­рокого, родового понятия, но не ис­черпывают его полностью, напр, «бе­лый — черный», «сладкий — горький», «высокий — низкий» и т. п. Если послед­нюю пару понятий отнести к людям, то класс «люди» можно разбить на три час­ти: «высокие» — «среднего роста» — «низ­кие». Противоположные понятия «высо­кий» — «низкий» займут наиболее уда­ленные друг от друга части объема ро­дового понятия, но не покроют его це­ликом.

В отношении противоположности на­ходятся общеутвердительные и общеотрицательные сужде­ния, говорящие об одном и том же классе предметов и об одном и том же свойстве, например: «Всякий человек добр» и «Ни один человек не добр». Такие суждения вместе не могут быть истинными, однако они оба могут оказаться ложными (как это имеет место в приведенном примере).

ПРОТИВОРЕЧИЕ — два высказы­вания, из которых одно является отри­цанием другого. Напр.: «Латунь — хими­ческий элемент» и «Латунь не является химическим элементом», «2 — простое число» и «2 не является простым числом». В одном из противоречащих высказыва­ний что-то утверждается, в другом это же самое отрицается, причем утвержде­ние и отрицание касаются одного и того же объекта, взятого в одно и то же время и рассматриваемого в одном и том же отношении.

П. является одним из центральных понятий логики. Поскольку слово «П.» многозначно, пару отрицающих друг друга высказываний называют иногда «логическим П.» или абсурдом.

П. недопустимо в строгом рассужде­нии, когда оно смешивает истину с ложью. Но у П. в обычном языке много разных задач. Оно может выступать в качестве основы сюжета, быть средством достижения особой художественной вы­разительности, комического эффекта и т. д. Реальное мышление — и тем более художественное мышление — не сводит­ся к одной логичности. В нем важны ясность и неясность, доказательность и зыбкрсть, точное определение и чувствен­ный образ и т. д., может оказаться нуж­ным даже П., если оно стоит на своем месте.

РАВЕНСТВО — отношение между знаковыми выражениями, обозначаю­щими один и тот же объект, когда все, что можно высказать на языке соот­ветствующей теории об одном из них.

ПРОТИВОРЕЧИЕ В ЯВНОМ ОП­РЕДЕЛЕНИИ — ошибка в определении, имеющем структуру = (см.: Оп­ределение), из которого по правилам ло­гики оказывается выводимым противо­речие А&~А (некоторое суждение А и его отрицание) (см.: Противоречие). Примером противоречивого определения, встретившегося в теории множеств, мо­жет быть общее определение нормаль­ного множества, т. е. множества всех тех множеств, которое не содержит самое себя в качестве своего элемента. При­ведем примеры нормального и ненормаль­ного множества. Так, множество коров не является коровой и потому должно быть отнесено к числу нормальных мно­жеств. Множество же понятий, в свою очередь, является понятием и потому должно быть включено в множество по­нятий (оно не является поэтому нормаль­ным).

Пусть переменная / имеет в качестве своих значений множества и соответ­ствующие им предикаты. Пусть Р будет предикатом — «быть нормальным мно­жеством». Тогда определение нормаль­ного множества можно записать так: /⁷(/)= ~ / (/) («Множество ( является нормальным, если неверно, что оно вклю­чается в себя в качестве своего элемен­та»). Поскольку определение верно для любых множеств и соответствующих ему предикатов, то оно верно и для Р. Тогда при подстановке Р вместо / получим: Р {Р) = ~Р {Р), где = —знак эквивалент­ности. Замена выражения Р (Р) на А приводит к выражению А = ~А (А экви­валентно его отрицанию). Из этого выра­жения путем элементарных логических преобразований нетрудно получить про­тиворечие: А&~А.

В науке встречаются случаи, когда при добавлении непротиворечивого явно­го определения к строго построенной тео­рии (например, дедуктивно) возникает противоречие. В этих случаях или отка­зываются от определения, заменяя его другим, или изменяют теорию, р

можно высказать и о другом, и наоборот, и при этом получать истинные выска­зывания. Обозначаемые объекты могут быть построены различным способом, напр., один объект может быть представ-

лен как «3-5», а другой как «20 — 5», но между ними может быть поставлен знак р.

Отношение р позволяет заменять одни и те же объекты, построенные раз­личным образом, друг на друга в раз­личных контекстах (правило подстано- вочности). Выражения (формулы), со­держащие предикат Р., могут содержать переменные, или параметры. Если такая формула является истинной при всех зна­чениях переменных (параметров), то от­ношение р называют тождеством. Если же она является истинной лишь при не­которых значениях, то ее называют урав­нением. Отношение р обладает свойст­вами симметричности, транзитивности и рефлексивности.

РАВНОЗНАЧНОСТЬ (равносиль ность, эквивалентность) — отношение между высказываниями или формулами, когда они принимают одни и те же истин­ностные значения. Напр., при любых зна­чениях элементарных высказываний фор­мулы (А\/В) и {ВУА), (А\/(А&В)) и А принимают одни и те же значения, т. е. если одна из них истинна, то и другая истинна, если одна из них ложна, то и другая также ложна. Если два выска­зывания А и В равнозначны, то фор­мулы А—+В и В—>А будут тождест­венно истинными.

РАВНООБЪЕМНОСТЬ — отноше­ние между понятиями, объемы которых совпадают. Напр., понятия «луна» и «естественный спутник Земли» совпадают по своему объему, в который входит толь­ко один предмет; понятия «человек» и «разумное существо, владеющее члено­раздельной речью» равны по своему объему, т. к. обозначают один и тот же класс — людей.

РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЕ СУЖДЕНИЕ- дизъюнктивное (от лат. сИз/ипсИо — разобщаю) сложное суждение, образо­ванное из двух или большего числа суж­дений с помощью логической связки «или». Общая форма Р.с. имеет вид А\ V А₂ V. V Ап, где Л, — суждение (член дизъюнкции, альтернатива), а V — знак дизъюнкции. Существуют два вида Р.с.: строго разделительные и нестрого разделительные. В строго разделитель­ных суждениях связка «или», «либо» употребляется в строго разделительном смысле (см.: Дизъюнкция), т. е. когда члены дизъюнкции (альтернативы) в двучленном суждении А\\/А₂ несов­местимы (одно из них является истинным, а другое — ложным). Та­ково суждение «Этот человек является виновным (Л1) либо этот человек не яв­ляется виновным (Л2)». Естественно, что данный человек не может быть одновре­менно виновным и невиновным, имеет место лишь одна из альтернатив. В не­строго разделительных суждениях (см.: Дизъюнкция) альтернативы не являются несовместимыми (по крайней мере одна из них имеет место, является истинной). Таково суждение: «Этот ученик является способным или он является прилежным». В этом суждении не исключается, что ученик может быть одновременно способ­ным и прилежным. Данное суждение бу­дет истинным. Р.с. в обычном языке формулируются чаще всего в сокращен­ной форме и имеют, напр., вид: «5 есть Р| или Р₂» или «Р\ или Р₂ принадлежит 5». Так, суждение «Данный треугольник прямоугольный или непрямоугольный» означает Р.с. «Данный треугольник прямоугольный или данный треугольник непрямоугольный». Связка «либо» вместо связки «или» используется обычно в строго разделительных суждениях.

РАЗДЕЛ ИТЕЛЬНО-КАТЕГОРИЧЕ- СКОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ — умоза ключение, в котором одна из посылок — разделительное суждение, а другая — категорическое. Р.-к. у. имеет два модуса:

1)модус утверждающе-отрицающий;

2)модус отрицающе-утверждающий. Простейшая форма модуса (1) имеет вид: 5 есть Р\ или Р₂ (первая посылка);

5 есть Р1 (вторая посылка), 5 не есть Р₂ (заключение). Такую форму имеет, напр., следующее умозаключение: «Жидкие кол­лоидные системы бывают эмульсиями либо золями. Данная жидкая коллоид­ная система является эмульсией. Данная жидкая коллоидная система не является золем». В таком умозаключении для обес­печения его правильности в раздели­тельной посылке союз «или» («либо») должен употребляться в строго раздели­тельном смысле (см.: Дизъюнкция).

Простейшая форма модуса (2) имеет вид: 5 есть Р\ или Р₂\ $ не есть Р\, следовательно, 5 есть Р₂. Пример:

Организмы бывают одноклеточными или многоклеточными.

Данный организм не является однокле­точным.

Данный организм является многокле­точным.

В таком умозаключении для обеспе­чения его правильности в первой по­сылке должны быть перечислены все члены дизъюнкции (альтернативы).

РАЗДЕЛИТЕЛЬНО - УСЛОВНОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ, см.: Дилемма.

РАЗРЕШАЮЩАЯ ПРОЦЕДУРА, см.: Разрешения проблема.

РАЗРЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМА, или: Разрешимости проблем а,— проблема нахождения для данной дедук­тивной теории общего метода, позволяю­щего решать, может ли отдельное утвер­ждение, сформулированное в терминах теории, быть доказано в ней или нет. Этот общий метод, являющийся эффек­тивной процедурой (алгоритмом), назы­вается процедурой разреше­ния или разрешающей про­цедурой, а теория, для которой такая процедура существует,— разрешимой теорией.

Р.п. решается в классической ло­гике высказываний с помощью таблиц истинности. Разрешающий алгоритм су­ществует и для логики одноместных пре­дикатов, для силлогизма категорического и других простых дедуктивных теорий. Но уже для логики предикатов общего решения Р.п. не существует. В матема­тике также невозможно установить об­щий метод, который дал бы возможность провести различие между утверждения­ми, которые могут быть доказаны в ней, и теми, которые в ней недоказуемы.

Невозможность найти для теории общий разрешающий метод не исклю­чает поиска процедуры разрешения для отдельных классов ее утверждений.

РАЗРЕШИМАЯ ТЕОРИЯ — теория, для которой существует эффективная процедура (алгоритм), позволяющая о каждом утверждении, сформулированном в терминах этой теории, решить, выво­димо оно в теории или нет (см.: Разре­шения проблема).

Р.т. являются, напр., элементарная алгебра Буля, теория сложения целых чисел и некоторые иные простые мате­матические теории. Неразрешима ариф­метика целых чидел (т. е. теория четырех главных арифметических действий над целыми числами) и каждая дедуктивная теория, содержащая арифметику.

РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ — уве личение эмпирического объема понятия при сохранении его логического объема и содержания (см.: Понятие). Под эмпи­рическим объемом понятия понимается количество, мощность элементов объема (класса) (см.: Множество). Р.п. имеет место при анализе развития понятий (см.: Диалектическая логика). Примером мо­жет быть Р.п., наблюдаемое при ана­лизе развития понятия о химическом элементе. Периодическая система элемен­тов Д. И. Менделеева пополнялась вновь открываемыми и создаваемыми элементами. При этом содержание по­нятия химического элемента как сово­купности атомов с одинаковым зарядом ядра продолжало оставаться стабиль­ным. Оставался стабильным и логический объем понятия, как совокупность объек­тов, которые рассматриваются как тож­дественные с точки зрения содержания понятия о химическом элементе. С анало- тичным процессом Р.п. мы имеем дело при анализе развития наших знаний и об элементарных частицах в физике.

РАЦИОНАЛЬНОСТЬ (от лат га- Ио — разум) — относящееся к разуму, обоснованность разумом, доступное ра­зумному пониманию, в противополож­ность иррациональности как чему-то внеразумному, недоступному ра­зумному пониманию.

В методологии научного познания Р. понимается двояко. Чаще всего Р. истол­ковывается как соответствие законам разума — законам логики, методоло­гическим нормам и правилам. То, что соответствует логико-методологическим стандартам,— Р., то, что нарушает эти стандарты,— нерационально или даже иррационально. Иногда под Р. понимают целесообразность. То, что способствует достижению цели,— Р., то, что этому пре­пятствует,— нерациональность.

До недавних пор считалось, что образцом Р. деятельности является нау­ка и деятельность ученого. Все осталь­ные сферы человеческой деятельности Р. лишь в той мере, в какой они опираются на научные знания и методы. В настоящее время признано, что каждая область деятельности имеет свои стандарты Р., которые далеко не всегда совпадают с научными, поэтому можно говорить о Р. в искусстве, в политике, в управле­нии и т. д. Поэзия столь же Р., как и наука, но в ней иные стандарты Р.

РЕКУРСИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ (от лат. гесигзо — возвращаюсь) — ме­тод определения арифметической фун­кции ф (у) или предиката Р (у) через об­ласть значений этой функции или преди­ката. Примером Р.о. может быть опре­деление функции сложения:

а -1-0 = а, (1)

а + Ь' = (а + Ь)'. (2)

В равенстве (1) говорится, что некоторое фиксированное число а (см.: Параметр) при прибавлении к нему нуля дает число а. В равенстве (2) говорится, что если к некоторому фиксированному числу а до­бавить число, следующее за некоторым фиксированным числом Ь (т. е. Ь', или число 6+1 ), то эта сумма будет равна числу, следующему за суммой чисел а-\-Ь. Напр., если к числу 2 добавить число, следующее за числом 3, т. е. чис­ло 4, то этот же результат можно по­лучить, сложив 2 и 3 и перейдя от получен­ной суммы к следующему за ней числу. Зна­чение левой и правой частей равенства в данном случае равно 6. Такого рода функции позволяют вычислять значение суммы самых различных чисел. При этом осуществляется переход от некоторого числа п к следующему за ним (к п\ или п+1), т. е. строится натуральный ряд чисел начиная с нуля. Допустим, нам требуется сложить 5 и 2. Тогда число 2 представим как следующее за 1, т. е. как Г. Итак, имеем:

а) 5 + 2 = 5+ Г = (5 + 1)'! по равен-

б) 5+ 1 = 5 + 0'=(5 + 0)'/ ству (2),

в) 5 + 0 = 5 — по равенству (1). Теперь будем возвращаться от равенства

5+ 0 = 5 (в) к равенству (б), а затем к равенству (а). Раз 5 + 0 = 5, то (5 + 0)'=6 (см. равенство (б)). Раз 5+1 равно 6, то (5+1)'= 7 (см. равенство (а)). Итак,

5 + 2 = 7. В основе вычислимости арифме­тических функций, определяемых рекур­сивно, лежит класс некоторых других функций, считающихся заданными с са­мого начала, которые называются прими- тивно-рекурсивными.

РЕЛЕВАНТНАЯ ИМПЛИКАЦИЯ, см.: Релевантная логика.

РЕЛЕВАНТНАЯ ЛОГИКА — одна

из наиболее известных неклассических теорий логического следования. В назва­нии «Р.л.» отражается стремление вы­делить и систематизировать только уместные (релевантные) принципы логики, исключив, в частности, парадоксы импликации, свойственные импликации материальной классической логики, строгой импликации и другим им­пликациям.

В Р.л. формальным аналогом условного высказывания является р е- левантная импликация, учиты­вающая содержательную связь, суще­ствующую между основанием (антеце­дентом) и следствием (консеквентом) та­кого высказывания. Выражение «Утвер­ждение Л релевантно имплицирует утвер­ждение В» означает, что В содержится в А и информация, представляемая В, является частью информации А. В част­ности, А не может релевантно импли­цировать В, если в В не входит хотя бы одно из тех утверждений, из которых слагается А.

В Р.л. не имеет места принцип, позволяющий из противоречия выводить какое угодно высказывание. Эта логика является, таким образом, одной из пара- непротиворечивых логик, не отожде­ствляющих противоречивость опираю­щихся на них теорий с их тривиаль­ностью, т. е. с доказуемостью в них лю­бого утверждения.

В Р.л. логически истинное высказы­вание невыводимо из произвольно взя­того высказывания.

РЕФЕРЕНТ (от лат. ге(его — назы­вать, обозначать) — объект, обозначае­мый некоторым именем, то же, что и денотат. Напр., Р. выражения «первый космонавт» будет Юрий Гагарин (см.: Имя, Денотат).

РЕФЕРЕНЦИЯ — отношение между обозначаемым и обозначающим, между предметом и его именем. Отношение Р. изучается теорией референции — разде­лом логической семантики (см.: Имя, Де­нотат) .

с

СВОЙСТВО — характеристика, при­сущая вещам и явлениям, позволяю­щая отличать или отождествлять их. Каждому предмету присуще бесчислен­ное количество свойств, которые делятся на существенные и несуще­ственные, необходимые и случайные, общие и специ­фические ит. д.

В логике С. называют то, что обо­значается одноместным предикатом, напр.: «... есть человек», «... есть зеле­ный» и т. п. При постановке на пустое место имени к.-л. объекта мы получа­ем истинное или ложное высказыва­ние: «Сократ есть человек», «Снег зе­леный».

СВЯЗКА — в традиционной логике элемент простого суждения, соединяющий субъект и предикат. В повседневном языке С. обычно выражается словами «есть», «суть», «является» и т. п., напр.: «Узбеки являются жителями Средней Азии». В обыденной речи С. часто опу­скается и приведенное выше предложение обычно выглядит так: «Узбеки живут в Средней Азии». Однако даже если С не выражена каким-то специальным ело вом, она обязательно присутствует в суждении. Напр., два понятия «город» и «населенный пункт» образуют суждение только после того, как их соединит С. «Го­род есть населенный пункт». Поэтому схематическое представление простого суждения включает в себя три элемен­та — субъект, предикат и связку: «5 есть Я». С. может быть утвердительной или отрицательной («есть» или «не есть». Именно этим оопределяется качество простого суждения.

В символической логике пропози­циональными связками называют логи­ческие союзы (операторы), с помощью которых из простых высказываний полу чают сложные высказывания. К ним обычно относят отрицание конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию и т. п. Условия истинности сложных высказываний, со­держащих пропозициональные связки, формулируются посредством таблиц ис­тинности. (См.: Суждение.)

СЕМАНТИКА ЛОГИЧЕСКАЯ — раздел логики (металогики), исследую­щий отношение языковых выражений к обозначаемым объектам и выражаемо­му содержанию. Проблемы семантики обсуждались еще в античности, однако в качестве самостоятельной дисциплины она стала оформляться на рубеже XIX—XX вв. благодаря работам Ч. Пир­са, Г. ’Фреге, Б. Рассела. Значительный вклад в разработку проблем С.л. внесли А. Тарский, Р. Карнап, У. Куайн, Дж. Кемени, К. И. Льюис, С. Крипке и др. В течение длительного времени С.л. ориентировалась преимущественно на анализ формализованных язы­ков, однако в последние 20 лет все больше исследований посвящается естест­венному языку.

В С.л. традиционно выделяют две области — теорию референции (обозна­чения) и теорию смысла. Теория референ­ции исследует отношение языковых вы­ражений к обозначаемым объектам, ее основными категориями являются: «имя», «обозначение», «выполнимость», «истин­ность», «интерпретация», «модель» и т. п. Теория референции служит основой теории доказательств в логике. Теория смысла пытается ответить на вопрос о том, что такое смысл языковых выраже­ний, когда выражения являются тожде­ственными по смыслу, как соотносятся смысл и денотат и т. п. Значительную роль в С.л. играет обсуждение семан­тических парадоксов, решение которых является важным критерием приемле­мости любой семантической теории.

СЕМАНТИЧЕСКАЯ КАТЕГОРИЯ — класс языковых выражений, взаимная замена которых в предложении сохра­няет его грамматический статус, т. е. предложение остается предложением. Если, напр., в предложении «Волга впадает в Каспийское море» слово «Вол­га» мы заменим словом «Нева», то по­лучим хотя и ложное, но все-таки предложение. Это означает, что слова «Волга» и «Нева» принадлежат одной С.к. Но если вместо слова «Волга» мы поставим слово «меньше», то у нас окажется бессмысленный набор слов, следовательно, слова «Волга» и «меньше» принадлежат разным С.к.

Наиболее известную систему С.к. разработал польский логик К. Айдуке- вич (1890—1963). Исходными категори­ями его системы являются категории собственных имен (п) и вы­сказываний (5). Предполагается, что каждое правильно построенное вы­ражение языка может быть расчленено на функтор и его аргументы. Катего­рия функтора определяется как дробь, в в знаменателе которой стоят категории аргументов, а в числителе — категория выражения, образующегося в результате сочленения функтора с аргументами. Напр., к какой С.к. принадлежит одноместный предикат «... бел»? Его единственным аргументом является неко­торое имя, категория которого помещает­ся в знаменателе дроби; в результате соединения предиката с именем получает­ся предложение, категория которого по­

мещается в числителе дроби, получается

—. С.к. двухместного предиката, п

скажем, «больше», будет выглядеть так:

— . Логические связки можно рассмат- пп

ривать как функторы, применяемые к предложениям, причем в результате опять получается предложение. Т. о., категория бинарной связки, скажем, «или», «если, то» и т. п., будет выглядеть

так: —. Теория С.к. служит основой

для классификации формализованных языков и определения важных семан­тических понятий, например понятия истины.

СЕМАНТИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ,

см.: Антиномия.

СЕМАНТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ИСТИНЫ — классическое понятие ис­тины, уточненное с помощью технических средств логической семантики. Это уточ­нение было осуществлено польским ма­тематиком и логиком А. Тарским в работе «Понятие истины в формали­зованных языках» (1935). Тарский исхо­дит из классического представления об истине, согласно которому термин «истин­но» выражает свойство нашего знания, в частности свойство высказываний, а не объективной действительности. Вы­сказывание считается истинным тогда и только тогда, когда оно утверждает, что дела обстоят так-то и так-то, и дела действительно обстоят именно так. Напр., высказывание «Париж находится во Франции» истинно тогда и только тогда, если Париж находится во Фран­ции; высказывание «Сахар растворим в воде» истинно тогда и только тогда, если сахар растворим в воде, и т. п. Подобного рода определения истинности отдельных высказываний Тарский обоб­щает в виде следующей схемы:

X истинно=Р.

Для того чтобы получить определение истинности некоторого конкретного вы­сказывания, на место X в этой схеме нужно поставить кавычковое имя данного высказывания (т. е. высказывание в ка­вычках), а на место Р— само это вы­сказывание, знак «==» означает «тогда и только тогда, когда». Напр.: «Снег бел» истинно тогда и только тогда, когда снег бел. Общее определение истины должно быть таким, чтобы ему соответ­ствовали все конкретные случаи примене­ния понятия «истинно», представленные приведенной схемой.

Тарский показал, однако, что для обычного естественного языка задача построения общего определения истины не может быть решена. Одной из причин этого является то обстоятельство, что в естественном языке имеются предложе­ния, утверждающие собственную лож­ность (типа «Я лгу»). Попытка применить к ним термин «истинно» согласно при­веденной схеме ведет к противоречию. Тарский считает, что это противоречие возникает благодаря «семантической замкнутости» естественного языка, т. е. благодаря тому, что в этот язык входят и предложения, и имена этих предло­жений, и семантические предикаты — «обозначать», «истинно», «выполнять» и т. п. Для устранения подобных парадок­сов Тарский считает необходимым раз­делить язык на две части: объектный язык и метаязык. Определение исти­ны должно формулироваться в метаязы­ке. В этом случае парадоксов не возни­кает.

С.п.и. не только является одним из основных понятий логической семан­тики, оно существенно уточняет и наше философское представление об истине.

СИЛЛОГИЗМ (от греч. зШо&зтоз) категорический — дедуктивное умоза­ключение, в котором из двух суждений, имеющих субъектно-предикатную форму («Все 5 суть Я», «Ни одно 5 не есть Р», «Некоторые 5 суть Р», «Некоторые 5 не есть Р»), следует новое суждение (заключение), имеющее также субъект­но-предикатную форму (см.: Суждение). Примером С. может быть:

Все жидкости упруги.

Ртуть — жидкость. (1)

Ртуть упруга.

В этом С. посылки стоят над чертой, а заключение — под чертой. Черта, от­деляющая посылки от заключения, озна­чает слово «следовательно». Слова и сло­восочетания, выражающие понятия, фи­гурирующие в С., называют термина­ми С. В каждом С. имеется три термина: меньший, больший и средний. Термин, соответствующий субъекту заключения, носит название меньшего термина (в при­мере (1) таким термином будет «ртуть») и обозначается знаком 5. Термин, соот-

ветствующий предикату заключения, но­сит название большего термина (в приме­ре (1) таким термином будет «упруга») и обозначается знаком Р. Термин, который присутствует в посылках, но отсутствует в заключении, носит название среднего термина (в примере (1) таким термином будет «жидкость») и обозначается зна­ком М. Логическую форму С. (1) можно представить в виде:

Все М суть Р.

Все 5 суть М.

Все 5 суть Р.

С., таким образом, представляет собой дедуктивное умозаключение, в котором на основании установления отношений меньшего и большего терминов к средне­му термину в посылках устанавливается отношение между меньшим и большим терминами в заключении. Та посылка, в которую входит больший термин, носит название большей посылки (в приме­ре (1) — «Все жидкости упруги»). Та по­сылка, в которую входит меньший термин, носит название меньшей посылки. Для иллюстрации того, следует ли заключение из посылок с логической необходимостью, используются Эйлера круги. Так, соотно­шение между терминами С. (1), изобра­женное с помощью кругов Эйлера, имеет следующий вид (см. рис.).

Эту схему можно интерпретировать так: если все М (жидкости) входят в объем Р (упругих тел) и если все 5 (ртуть) входят в объем М (жидкостей), то с необходимостью ртуть (5) войдет в объем упругих тел (Р), что и фиксируется в заключении: «Всякая ртуть упруга». По отношению к С. формулируется ряд пра­вил. Напр.: из двух посылок, представ­ляющих собой отрицательные суждения, нельзя сделать никакого заключения; если одна посылка — отрицательное суж­дение, то заключение должно быть отри­цательным суждением; из двух посылок, представляющих собой частные сужде­ния, нельзя сделать заключения и т. п. Наиболее часто встречающиеся ошибки в С. можно исключать, опираясь на пра­вила, формулируемые по отношению к фигурам С. С., отличающиеся друг от друга расположением среднего термина в посылках, принадлежат различным фи­гурам. Средние термины в С. могут распо­лагаться следующим образом: 1) сред­ний термин М может быть субъектом в большей посылке и предикатом в меньшей (1-я фигура); 2) средний тер­мин может быть предикатом в обеих по­сылках (2-я фигура) ; 3) средний термин может быть субъектом в обеих посылках (3-я фигура); 4) средний термин может быть предикатом в большей посылке и субъектом в меньшей (4-я фигура). Схе­матически фигуры изображаются так: