Элементы линейной алгебры

Кафедра «Математика

в инженерном образовании»

ПОСОБИЕ

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

ПО МАТЕМАТИКЕ

(часть 1)

для студентов первого курса,

Обучающихся на заочном отделении

ИМТЭиТ

Астрахань 2009

Методическое пособие рассмотрено и рекомендовано к печати кафедрой «Высшая математика» " 04 " октября 2009г.,

протокол № 2.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие для выполнения контрольных заданий предназначено в помощь студентам первого курса Института Морских Технологий, Энергетики и Транспорта, получающих высшее образование заочно. В данном пособии подробно разобраны все задания, входящие в контрольные работы по математике, необходимые для выполнения на первом курсе.

Все решения снабжены краткими теоретическими сведениями, которые выделены в тексте курсивом. Следует заметить, что данное пособие не заменяет изучение курса высшей математики, а только предоставляет помощь при самостоятельном решении контрольных заданий. Список рекомендуемой для изучения курса литературы представлен в конце пособия.

Элементы линейной алгебры

Задача 1. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее методом Крамера.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Решение. Пусть - основная, - расширенная матрицы системы.

По теореме Кронекера-Капелли данная система будет совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A будет равен рангу матрицы B. Приведем матрицу B к диагональному виду. Для этого 1-ю строку умножим на -2 и сложим со второй, далее, умножив первую строку на -4 сложим ее с третьей и вычтем соответствующие элементы второй и третьей строк:

.

Видно, что (число линейно независимых строк основной и расширенной матриц равно), т.е. данная система совместна и, т.к. ранг равен числу неизвестных ( ), то система имеет единственное решение.

Решение системы уравнений найдем по формулам Крамера:

, , .

где - главный определитель системы, , , - вспомогательные определители, составленные из главного путем замены соответствующих столбцов столбцом свободных членов.

Вычисляем определители третьего порядка по правилу треугольников (правилу Саррюса):

.

Итак,

;

;

;

.

Тогда система уравнений имеет решение: , , . Результат легко проверить, подставив полученные значения переменных в исходное уравнение.

Задача 2. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее методом Гаусса:

.

Решение.

Расширенную матрицу B с помощью равносильных преобразований приведем к диагональному виду (метод Гаусса): вычтем из первой строки вторую; далее, умножив первую строку на -4 сложим ее сначала с третьей, а затем со второй; поменяем местами вторую и четвертую строки; умножив теперь последовательно вторую строку на -5 и на 4 сложим ее с третьей и четвертой строками соответственно и в заключении сложим третью и четвертую строки:

.

Получили, что ранг меньше - числа неизвестных, следовательно, данная система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного ( ) параметра. Последней матрице, эквивалентной данной матрице , соответствует система уравнений

эквивалентная исходной. Определитель, составленный из коэффициентов при , , : , поэтому в качестве свободной неизвестной можно взять . Выразим остальные переменные через : ; ; .

Получили общее решение системы уравнений, содержащее бесчисленное множество решений, зависящих от параметра :

.

Задача 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

.

Решение.

Составим характеристическое уравнение:

,

т.е. , или . Корнями этого уравнения являются числа , .

Так как пространство вещественное, то только действительный корень является собственным значением. Обозначим через , , координаты собственного вектора с собственным значением . Тогда получим систему уравнений:

Решив эту систему методом Гаусса, получим , , .

Таким образом, – множество собственных векторов данного оператора.