Приложение дифференциального исчисления

Задача 1. .Найти наибольшее и наименьшее значения функции на [0; 2].

Решение.

Функция y=f(x) непрерывная на [a;b] может принять свое наибольшее и наименьшее значения или на концах отрезка, или в критических точках, лежащих внутри этого отрезка.

Находим критические точки, принадлежащие интервалу :

.

,

, при производная не существует, т.к. , но , поэтому эту критическую точку мы выбираем.

Вычисляем значение функции на концах отрезка y(0), y(2) и в критической точке x=1 и выбираем самое большое и самое маленькое значение функции. , , .

Итак, , .

Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение.

.

Находим критические точки, принадлежащие интервалу :

,

, .

Найденные критические точки принадлежат заданному интервалу. Вычислим значения функции в этих точках: , .

Вычислим значения функции на концах заданного отрезка:

, .

Сравнивая полученные результаты, заключаем, что есть наименьшее значение функции на заданном отрезке, а есть наибольшее значение функции на этом же отрезке.

Задача 2.Каковы должны быть размеры (радиус основания и высота ) открыто сверху цилиндрического бака максимальной вместимостью, если для е го изготовления отпущено м² ( 84,82 м²) материала?

Вместимость бака , на его изготовление пойдет материала. Отсюда определяем высоту бака

.

Тогда вместимость бака

.

Найдем значение , при котором вместимость бака будет максимальной. Для этого найдем производную функции . Имеем

.

.

Так как , то при найденном значении вместимость бака будет максимальной.

Высота бака находится из полученного выше соотношения:

.

Задача 3. Из круглого бревна диаметром требуется изготовить балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы прогиб от изгиба балки был наименьшим, если , где ?

Решение. Имеем , то есть .

Тогда ,

, отсюда , то ;

. В критической точке то есть функция имеет минимум.

Задача 4. Стоимость железнодорожной перевозки груза на 1 км равна , а автомобильной – . В каком месте надо начать строительство шоссе, чтобы возможно дешевле доставлять груз из пункта в ? Известно, что , ?

Решение.

. Тогда стоимость перевозки груза из в равна .

Найдем значение , при котором функция стоимости достигает наименьшего значения. Дифференцируем ее по :

.

Решим уравнение , то есть ;

;

;

;

;

Так как , то - точка минимума функции .

Итак, – искомое расстояние от до .

Задача 5. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить их графики, используя результаты исследования.

Исследование функций рекомендуется вести в некоторой определенной последовательности. Можно взять, например, следующую схему:

1) Найти область определения функций.

2) Исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность.

3) Найти точки пересечения функции с осями координат.

4) Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой.

5) Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

6) Определить интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз; точки перегиба.

7) Построить график функции.

1. .

Решение.

1) Данная функция определена для всех значений , .

2) , т.е. функция является нечетной. Функция не периодичная.

3) Функция пересекает ось при и ; ось - при .

4) Функция непрерывна (точек разрыва нет), так как , следовательно вертикальных асимптот нет.

График функции имеет наклонную асимптоту , если существуют пределы и . Вычислим их для данной функции:

,

значит, наклонных асимптот график функции не имеет.

5) Находим производную функции:

;

при . Отметим эти точки на оси , и вычислим значения производной в полученных интервалах:

, то есть функция убывает при и возрастает при .

Итак, – точка минимума, ; – точка максимума, .

6) Находим вторую производную:

;

при . Отметим эту точку на оси , и вычислим значения второй производной в полученных интервалах:

. Значит, при график направлен выпуклостью вверх, при график направлен выпуклостью вниз, – абсцисса точки перегиба, .

7) По результатам исследования строим график функции:

2. .

Решение.

1) Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме (в этом случае знаменатель обращается в нуль), т.е. .

2) . Таким образом, функция не является четной или нечетной (функция общего вида). Функция не периодичная.

3) Так как уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью , но пересекает ось в точке .

4) - точка разрыва. Исследуем характер разрыва:

,

,

таким образом, - бесконечный разрыв II рода и – вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты графика функции. Так как

,

,

то - уравнение наклонной асимптоты при .

5) Вычислим первую производную и исследуем ее знаки:

.

Решая уравнение , получаем две точки: и , которые разбивают числовую ось на промежутки , , и , причем в промежутках и (функция возрастает) и в промежутках и (функция убывает).

Следовательно, - точка максимума, причем ; - точка минимума, причем .

6) Найдем интервалы выпуклости вверх и выпуклости вверх функции, точки ее перегиба. Вычислим вторую производную:

.

Так как в нуль не обращается, то критических точек нет.

на интервале , поэтому график направлен выпуклостью вверх, на график направлен выпуклостью вниз.

7) Используя полученные данные, строим график функции.