Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Правила дифференцирования

Если – постоянное число и – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) если , т.е. – сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то

или .

Таблица производных

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9)	10) ;
11) ;	12) ;
13) ;	14) ;
15) ;	16) ;
17) .

Задача 1.Найти производные данных функций:

1) .

Воспользуемся правилами нахождения производной от частного:

2) .

Воспользуемся правилами нахождения производной суммы и производной сложной функции:

3) .

4) .

.

5) .

6) .

.

7) .

8) .

.

9) .

Здесь нельзя воспользоваться производной степенной или показательной функции, т.к. нашем случае находится и в основании степени и в показателе. Такая функция называется показательно–степенной. Здесь применяют метод логарифмического дифференцирования, то есть сначала функцию логарифмируют, а затем дифференцируют.

Имеем

От обеих частей полученного равенства берем производную:

.

Учитывая, что – сложная функция, получим:

Итак, . Выразим :

.

10) .

Данная функция показательно-степенная. Прологарифмируем по основанию е обе части равенства:

.

Упростим правую часть по свойству логарифмической функции:

.

Продифференцируем все выражение, учитывая, что y – функция от , а – сложная функция:

;

;

Таким образом, .

11)

Данная функция показательно - степенная. Прологарифмируем по основанию е все выражение:

.

По свойству логарифмической функции имеем:

.

Продифференцируем все выражение, учитывая, что – функция от , а – сложная функция:

Итак,

12)

Данная функция является неявной. Дифференцируем каждое слагаемое по , считая функцией от , и определяем :

,

,

,

,

,

,

Итак, .

13) .

Дифференцируем каждое слагаемое по , считая функцией от , и определяем :

,

откуда .

Задача 2.Найти производные и .

1) .

Найдем :

.

Тогда

Итак, , .

2) .

Искомые производные функции найдем по формулам

, .

,

,

,

.