Аналитическая геометрия на плоскости

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника ABC.

Найти:

1) длину стороны АB;

2) уравнение стороны АB;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины С;

4) вычислить расстояние от вершины В до стороны АС;

5) угол ÐА в радианах (с точностью до двух знаков после запятой).

A(5,1), B(7,9), C(1,1).

Решение:

1) Длина стороны АВ вычисляется как расстояние между двумя точками по формуле

,

где , .

.

Следовательно, уравнение стороны .

3) Прямая СH перпендикулярна прямой АB ,значит, можно воспользоваться условием перпендикулярности прямых

,

где и – угловые коэффициенты прямых AВ и CН соответственно.

Из уравнения , имеем , следовательно .

Для того, чтобы составить уравнение высоты СH используем уравнение пучка прямых:

,

где - любая точка прямой.

Получаем: - уравнение высоты СH.

4) Чтобы найти длину высоты , используем формулу расстояния от точки до прямой

.

В нашем случае длина высоты, т.е. расстояние от точки до прямой равно:

.

5) Угол между векторами и находится по формуле

,

где - скалярное произведение векторов и , , - их длины.

Таким образом, .

Векторы и имеют координаты

, ,

их длины равны , .

Получаем: .

Таким образом, .

Задача 2. Известны уравнения двух сторон ромба:

и , а также точка пересечения диагоналей . Составить уравнения двух других сторон.

Решение:

1) Пусть , , тогда можно найти точку B как точку пересечения прямых AB и BC:

.

2) Точка N является серединой отрезка BD.

Известно, что координаты середины отрезка можно найти по формулам

, ,

где - середина отрезка , координатами концов которого являются точки и

Следовательно, в нашем случае, , , т.е , .

Итак, .

3) AB || DC, следовательно, .

Используя уравнение пучка прямых: , получим , уравнение стороны имеет вид

.

4) BC || AD, следовательно, .

Тогда уравнение стороны найдем по формуле : .

Задача 3. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от прямой на расстоянии в два раза большем, чем от точки .

Решение:

Пусть - произвольная точка искомой линии. По условию

.

Точка , , ,

, . Тогда

Преобразуем полученное равенство:

,

,

,

,

.

Итак, искомая кривая - эллипс с центром в точке и полуосями :

Замечание. В подобных задачах могут получатся уравнения прямых или следующих кривых:

1. Окружность

,

где - центр окружности, - радиус;

1. Эллипс

,

где - центр эллипса, и - большая и малая полуоси;

1. Гипербола

,

где - центр гиперболы, и - действительная и мнимая полуоси;

1. Парабола

,

где -вершина параболы, число - параметр параболы.