Определенный интеграл.

1. Формула Ньютона-Лейбница:

где – первообразная для функции т.е.

2. Формула интегрирования по частям:

,

где , – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .

3. Формула замены переменной:

,

где – функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , , , – функция, непрерывная на .

4. Если f (x) – нечетная функция, т.е. , то .

Если – четная функция, т.е. , то .

Задача 1. Вычислить определенные интегралы.

1) .

2) .

Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

.

3) .

Сделаем замену переменной, тогда получаем

.

Задача 2.Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.

Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от а до +¥ определяется равенством: .

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся.

Аналогично

, .

Если функция f (x) имеет бесконечный разрыв в точке x=b и непрерывна при a£ x <b, то .

Если функция f (x) имеет бесконечный разрыв в точке x=a и непрерывна при a<x£b, то .

Если функция f (x) имеет бесконечный разрыв в точке x=c и непрерывна при и , то

.

Несобственные интегралы называются сходящимися, если пределы, стоящие в правых частях формул существуют и конечны; в противном случае – несобственные интегралы называются расходящимися.

1) , т.е. несобственный интеграл сходится.

2) .

Решение. Подынтегральная функция – четная, поэтому .

Тогда .

Таким образом, , т.е. несобственный интеграл сходится.

3) .

Решение. Подынтегральная функция в точке имеет бесконечный разрыв и непрерывна при , а значит

, т.е. несобственный интеграл расходится.

4) .

Решение. Подынтегральная функция в точке имеет бесконечный разрыв и непрерывна при и . Поэтому

.

Так как каждый из пределов не существует (первый равен , а второй ), то несобственный интеграл расходится.

Задача 3.Вычисление площадей плоских фигур.

1) Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью Ох.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми x=a и x=b и отрезком [a;b] оси Ox, вычисляется по формуле

.

Решение. Изобразим фигуру в системе координат :

Парабола пересекает ось в точках и . Следовательно, .

2) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и ( ) и прямыми и , находится по формуле

.

Сделаем рисунок фигуры в системе координат :

Найдем точки пересечения прямой и параболы:

.

Так как график функции расположен выше графика функции при , то

.

3) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды: и осью .

Решение.

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a,b] оси Ox, выражается формулой

,

где , определяются из уравнений , ( при ).

Построим циклоиду по точкам. Для этого составим таблицу значений функций , при .

t
x
y

Так как , то , а изменяется от до то

4) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Решение.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами , выражается интегралом

.

Изобразим линию в полярной системе координат. Так при , то для построения линии будем использовать таблицу значений функции :

Далее на полярных радиусах , где , , , , откладываем, начиная от полюса , значения соответствующих полярных радиусов , , , 4. Полученные точки соединяем плавной линией.

В силу симметричности фигуры относительно оси , площадь равна:

.

Задача 4. Вычисление длин дуг плоских кривых.

1) Найти длину дуги кривой от до .

Решение.

Если кривая на отрезке – гладкая (т.е. производная непрерывная), то длина дуги этой кривой находится по формуле:

.

Так как , то

.

2) Найти длину дуги кривой от до .

Решение.

При параметрическом задании кривой , и – непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от вычисляется по формуле:

.

Так как , , то .

3) Найти длину дуги кривой от до .

Решение.

Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением , , то длина дуги равна

.

В нашем случае . Тогда

.

Задача 5. Вычисление объемов тел вращения.

1) Вычислить объем вращения фигуры вокруг оси Ох, ограниченной линиями: , .

Решение.

Если фигура, ограниченная кривыми и и прямыми , , вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по формуле:

.

Прямая и парабола пересекаются в точке и , причем при . Поэтому

2) Вычислить объем вращения фигуры вокруг оси , ограниченной линиями: , , .

Решение.

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой и прямыми , , , вращается вокруг оси , то объем тела вращения вычисляется по формуле:

.

Из уравнения выразим : . При , .

Значит .

Задача 6. Задачи на движение. Вычисление работы и давления.

1) Скорость тела, движущегося прямолинейно, задана уравнением . Найти путь, пройденный телом от начала движения до его остановки.

Решение.

Если тело движется прямолинейно и его скорость задается функцией , то путь, пройденный телом за время , вычисляется по формуле:

.

Так как , то при , значит, тело двигалось до остановки от начала движения в течении . Поэтому путь, пройденный телом, равен .

2) Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 4см, если известно, что от нагрузки в 1Н она растягивается на 1см.

Решение.

Работа переменной силы , действующей в направлении оси Ох на отрезке , вычисляется по формуле:

.

Согласно закону Гука, сила F H, растягивающая пружину на м, равна . Коэффициент пропорциональности найдем из условия: если , то ; следовательно, и . Тогда

.

3) Найти работу, затраченную на выкачивание воды из емкости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда с длиной 10м, шириной 4м и глубиной 2м.

Решение. Выделим элементарный слой воды, находящийся на глубине и имеющий длину 10м, ширину 4 м и толщину :

dx

Его объем равен , а элементарная работа, совершаемая для поднятия этого слоя воды на высоту , равна , где , .

Следовательно, .

4) Найти величину давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, диаметр которого 6 м, находящегося на поверхности воды.

Решение.

Для вычисления силы давления жидкости плотности на площадку площади S, расположенную на глубине h, используют закон Паскаля – ускорение силы тяжести):

Изобразим вертикальную стенку и выделим на ней на глубине х элементарную площадку толщиной dx и длиной 2r:

Дифференциал давления на элементарную площадку выразится так: , где (по теореме Пифагора), , .

Значит .

Задача 7. Вычисление статических моментов, моментов инерции плоских дуг и фигур, координат центра тяжести.

Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой с линейной плотностью вычисляются по формулам:

; ; , ,

где , – статические моменты плоской кривой относительно осей и ; , – моменты инерции плоской кривой относительно осей и .

Статические моменты и моменты инерции криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Ох и двумя прямыми и ,и имеющей линейную плотность , вычисляются по формулам: ; ; ; , где , – статические моменты криволинейной трапеции относительно осей и ; , – моменты инерции криволинейной трапеции относительно осей и .

Статические моменты и моменты инерции фигуры, ограниченной кривыми и и прямыми и с линейной плотностью , находятся по формулам: ; ;

; .

Координаты центра тяжести дуги плоской кривой и плоской фигуры вычисляются по формулам: , , где , – статические моменты дуги плоской кривой или плоской фигуры;

– масса дуги плоской кривой; – масса плоской фигуры.

1. Найти статический момент полуокружности относительно оси .

Решение. Так как , то , , поэтому

.

2. Найти момент инерции фигуры, ограниченной графиками функций и относительно оси .

Решение. Найдем точки пересечения прямой и параболы:

.

Так как график параболы расположен выше графика прямой при , то

.

3. Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной параболой и осью .

Решение. Плоская фигура однородна и симметрична относительно оси , поэтому , . Парабола пересекает ось в точках , , поэтому

;

;

: .

– центр тяжести.