Свойства неопределенного интеграла.

1. .

2. .

3. где .

4.

5. Если , то и , где – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Это свойство называют инвариантностью формулы интегрирования.

6. Если , то: а) ,

б) ,

в) .

Таблица основных интегралов.

1. ,

В частности, , ,

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Задача 1.Вычислить неопределенные интегралы.

1) Непосредственное интегрирование. Подведение под знак дифференциала.

1) .

Разделив числитель подынтегральной функции на знаменатель получим:

2) .

Умножим под знаком дифференциала на 8 и отнимем 1, а чтобы сохранилось равенство, поделим интеграл на 8, т.к. , . Получим степенную функцию, проинтегрируем:

3)

4)

5)

6) .

Так как , то в примере присутствует комбинация функции и ее производной. Так как , , то получим:

.

7) .

Так как ; , получим

8) .

, тогда

.

9) ,

так как , и, следовательно, .

10) , т.к.

.

11) .

12) .

13)

.

2) Интегрирование по частям

Интегрирование ведется по формуле:

,

где , - непрерывно дифференцируемые функции.

Метод интегрирования по частям рекомендуется использовать для нахождения интегралов:

1) , , , , где - многочлен, - число. За удобно принять ;

2) , , , , . За удобно принять ;

а также для ряда других интегралов.

1)

.

2)

Берем интеграл второй раз по частям, т. к. многочлен не исчез.

3)

4)

5)

6)

7)

3) Интегрирование квадратного трехчлена.

Рассмотрим интегралы типа:

1)

2)

.

3)

Сделаем замену переменной,

4)

4) Интегрирование рациональных дробей.

Рациональной дробью называется дробь , где и порядок дроби. Интегрировать можно правильную дробь, т. е. Дробно рациональную функцию методом неопределенных коэффициентов разбивают на элементарные дроби вида:

I) ; II) ; III) ; IV) .

Рассмотрим примеры.

1)

Имеем неправильную дробь. Выделим целую часть.

.

Разобьем подынтегральную дробь на элементарные дроби I типа.

,

.

2) .

Дробь неправильная, выделим целую часть.

Получим дроби второго и первого типа:

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях.

3) – правильная дробь.

.

Имеем дробь первого и второго типа.

,

.

Выделим полный квадрат: .

.

Окончательно имеем:

.

5) Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида . Данные интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной подстановки:

, , ,

, .

1)

.

В некоторых случаях нахождение интегралов вида: может быть упрощено.

1. Если нечетная функция относительно , т.е.

, то интеграл рационализируется постановкой

2. Если – нечетная функция относительно , т.е. , то интеграл рационализируется постановкой

3. Если – четная функция относительно и , т. е. , то к цели приводит подстановка .

2) .

Подынтегральная функция нечетная относительно синуса. Получаем

3) .

Здесь функция является нечетной относительно косинуса. Следовательно: , , .

.

Так как , то

.

4) .

Подынтегральная функция четная относительно синуса и косинуса. Сделаем замену , ,

Интегралы вида .

Случай 1. По крайне мере один из показателей m и n – нечетное положительные число. Если n – нечетное положительное число, то применим подстановку . Если m - нечетное положительное число, подстановку .

5)

6)

Случай 2. Оба показателя степени n и m – положительные четные числа. Здесь следует применить формулы понижения степени:

7)

8)

Интегралы типа и , где m – целое положительное число ищутся заменой или

9)

.

10)

Интегралы вида: , , находят по формулам:

,

,

.

11)

6. Интегрирование простейших иррациональных функций.

Интегралы вида берутся с помощью подставки , где – наименьшее кратное чисел , ,…

1)

2)

Получим неправильную дробь, выделим целую часть, получим:

Существуют так называемые циклические интегралы.

6)

Получим первоначальный интеграл.

.

Таким образом, и

.

7)

Получим первоначальный интервал: