Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) функция определена в некоторой окрестности точки и в самой точке ;

2) существует предел ;

3) это предел равен значению функции в точке , т.е. .

Точка, принадлежащая области определения, в которой хотя бы одно из вышеперечисленных условий непрерывности нарушается, называется точкой разрыва функции.

Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа , и равны между собой, то точка называется точкой разрыва I рода.

Точки разрыва I рода подразделяются на точки устранимого разрыва (когда = ≠ ) и на точки скачка (когда ≠ ); разность - называется скачком функции в точке .

Если хотя бы один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точку называют точкой разрыва II рода.

В точке функция определена. Найдем односторонние пределы в этой точке.

Предел слева, предел справа и значение функции в точке равны, следовательно, в точке функция непрерывна.

В точке функция не определена, значит, в этой точке она имеет разрыв. Установим характер разрыва, для этого найдем односторонние пределы в этой точке.

Предел слева равен бесконечности, значит, - точка разрыва II рода.

Для построения графика исследуем поведение функции на бесконечности.

(причем число чуть меньше 1)

( причем число чуть больше 1)

Итак, прямая является вертикальной, а - горизонтальной асимптотами графика функции.

Задача 3. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Функция определена и непрерывна на интервалах , где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках и .

Найдем односторонние пределы и значение функции в точке :

Таким образом, в точке функция имеет разрыв I рода (скачок).

Рассмотрим точку :

,

то есть в точке функция непрерывна.