Комплексные числа и действия над ними

Комплексным числом называется число вида , где и - действительные числа; (или ) - мнимая единица; называется действительной (вещественной) частью комплексного числа (обозначается ), а - мнимой его частью (обозначается ).

Задача 1.Найти значение выражения , если , , .

Решение

Последовательно вычисляем: ,

,

,

.

Тогда

Задача 2. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной формах .

Решение.

Всякое комплексное число можно представить в тригонометрической и показательной формах, где - модуль комплексного числа, - главное значение аргумента, удовлетворяющее следующим условиям: или .

Для всякого комплексного числа справедливы формулы

, , ,

, .

; ; .

Следовательно,

.

Задача 3. Решить уравнение

Решение.

Данное уравнение можно переписать так: или .

Согласно формуле , число в тригонометрической форме имеет вид

.

Корни уравнения найдем по формуле

, .

Придавая последовательно значения , находим три возможных корня уравнения :

,

,

.

Задача 4. Вычислить .

Решение. Число в тригонометрической форме имеет вид:

.

Применяя формулу Муавра для возведения в степень

,

получим:

.

Задача 4. Вычислить .

Решение. Число дано в тригонометрической форме. Применяя формулу Муавра для возведения в степень , получим:

.