Введение в анализ

Задача 1. Найти указанные пределы:

а)

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при , т. е. имеет место неопределенность вида . Вынесем за скобки в старшей степени, т.е. :

, так как при каждая из дробей , , , стремятся нулю.

б)

При имеем неопределенность вида . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

1) ,

,

,

тогда по формуле представим наш знаменатель в виде произведения

;

2) знаменатель разложим по формуле сокращенного умножения

,

т.е. .

Подставим полученные произведения в предел и сократим на общий множитель :

в)

Здесь имеет место неопределенность вида . Умножим и разделим на сопряженные выражения числитель (на ) и знаменатель (на ):

г)

Это - неопределенность вида .

При решении подобных задач, полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых:

Если , то , , , , , , , .

Заменим числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечно малыми: , , тогда получим:

д)

Здесь имеет место неопределенность вида , характерная для второго замечательного предела или .

Преобразуем исходное выражение:

где , т.к. при .

Задача 2. Задана функция и значения аргумента и . Требуется:

1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений ;

2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва справа и слева;

3) сделать схематический чертеж.