Аналитическая геометрия в пространстве

Задача 1.Даны координаты вершин пирамиды :

А₁(2; 0; 0); А₂ (0; 2; 0); А₃ (0; 0; 2); А₄ (1; 2; 4;)

Средствами векторной алгебры найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь грани ;

3) проекцию вектора на вектор ;

4) объем пирамиды.

Решение:

1) Угол между ребрами можно рассматривать как угол между вектора-

-ми и , найти который можно по формуле, рассмотренной в задаче 1. Запишем координаты ребер-векторов:

.

Значение угла находим по известному косинусу, пользуясь таблицами Брадиса или инженерным калькулятором:

2) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Известно, что площадь треугольника, построенного на векторах и можно найти по формуле

.

Тогда площадь грани равна

_.

Координаты этих векторов следующие:

Векторное произведение векторов и равно

.

Найдем векторное произведение векторов и :

.

Тогда

3) Проекцию вектора на вектор найдем по формуле

Так как и , тогда

и .

Таким образом

4) Объем пирамиды, построенной на векторах , и вычисляется по формуле

.

У нас .

Поскольку , , , то

.

Тогда