нескольких переменных

Задача 1. Найти частные производные функции .

Частная производная функции по переменной ( ) представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной ( ) при фиксированном значении другой переменной ( ).

При дифференцировании функции нескольких переменных используют те же правила и формулы дифференцирования, что и для функции одной переменной.

а) .

Решение:

Рассматривая как постоянную величину, получим

Полагая теперь постоянной величиной, получим

.

б)

Решение:

,

т.к. ;

,

поскольку , в данном случае, постоянная величина.

в)

.

Задача 2. Показать, что функция удовлетворяет данному уравнению.

а) Показать, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа

Решение:

б) Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Решение:

Найдем частные производные и :

, .

Подставим полученные выражения в уравнение:

,

т.е, тождество верно.

Задача 3.Дана функция и две точки и . Требуется:

1) вычислить значение функции в точке ;

2) вычислить приближенное значение функции в точке , исходя из значения функции в точке , заменив приращение функций при переходе от точки к точке дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом;

3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке и проверить, лежит ли точка в этой плоскости.

Решение:

1) Значение функции в точке будет

.

2) Находим значение данной функции в точке :

Вычислим теперь приближенное значение функции в точке по формуле:

,

где и - частные производные рассматриваемой функции в точке .

;

;

; .

Тогда .

Если - приближенное значение некоторой величины, точное значение которой , то относительная погрешность в процентах

.

В нашем случае , , т.о.,

3) Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке можно записать в виде

,

где , а - текущие координаты этой плоскости.

В нашем случае имеем , и , и уравнение касательной плоскости будет

или

.

Точка лежит в этой плоскости, т.к. ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости:

.

Задача 3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области , ограниченной осью , прямой и параболой при .

Решение:

Изобразим область :

Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области , так и на ее границе.

1. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные

,

равны нулю, т.е.

.

Решив систему, найдем две критические точки и , в которых обе частные производные равны нулю. Точка не лежит внутри области, точка .

2. Исследуем функцию на границе области.

На границе , уравнение которой и , функция приобретает вид

.

Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке . Находим критические функции:

;

;

, .

Из полученных двух точек внутри отрезка лежит только , точка будет рассмотрена ниже.

На прямой , где и имеем

,

т.е., и

Отрезку принадлежит точка .

Аналогично, на прямой , заданной уравнением и , имеем:

; ; .

Получили точку - граничную.

3. Выпишем угловые точки области:

, , .

4. Найдем значение функции в критических и угловых точках области :

,

,

,

.

,

.

Сравнивая все полученные значения функции z, заключаем, что достигается в точке , а – в критической точке .

Итак, , .

Задача 4. Даны функция , точка и вектор Найти:

1) в точке ;

2) производную в точке по направлению вектора .

Решение.

Решение.

1) Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке М, имеющий своими координатами частные производные функции z:

Найдем значение частных производных в точке А:

; ;

Тогда

.

2) Найдем направляющие косинусы вектора

Если функция , дифференцируема, то производная в точке в направлении вектора вычисляется по формуле

где , - направляющие косинусы вектора , - модуль вектора .

, ; .

Следовательно,

Список рекомендуемой литературы

1.Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике.1 курс

2. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1,2

3. А.П.Рябушко. Индивидуальные задания по высшей математике. Т. 1,2

4. Н.В. Ефимов. Краткий курс аналитической геометрии.

5. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1